§ 8. СКОРОСТИ И ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ТОЧЕК БЕСКОНЕЧНО МАЛОГО ОБЪЕМА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Пусть в пространстве, связанном с системой координат х, у, z, движется жидкость. Рассмотрим некоторую малую частицу жидкости с объемом m в момент времени t. Выберем в этом объеме некоторую точку А и примем ее за полюс (рис. 1). Обозначим ее радиус-вектор через . Выберем в этом же объеме другую точку В и обозначим ее радиус-вектор через r. Относительный радиус-вектор АВ обозначим через р, его проекции — через .

Если координаты точки А обозначить через х, у, z, то координаты точки В будут .

Рассмотрим ту же массу жидкости в момент . Точки А и В займут новое положение А и В. Радиус-векторы, соответствующие новому положению точек, обозначим через . Очевидно, что

Вектор с проекциями характеризует изменение относительного положения точки В по отношению к точке А за время . С учетом (8.1)

Если через обозначить скорости точек A и В, то — перемещение точки — перемещение точки В за время . Поэтому (8.2) можно записать в виде

Здесь

Рис. 1.

Считая рассматриваемый объем m малым, разложим функцию в окрестности точки х, у, z в ряд Тейлора. С точностью до величин второго порядка малости получим

В проекциях на оси координат

Чтобы выяснить характер относительного изменения положений точек A и В, преобразуем равенства (8.5).

Сделаем это подробно на примере первого равенства (8.5).

Введем в рассмотрение псевдовектор-вихрь скорости

Обозначим

С учетом (8.7) и (8.8) выражение (8.6) для и соответственно выражения для можно записать в виде

Введем в рассмотрение квадратичную форму

Если занумеровать оси координат, положив , то (8.10) можно записать в виде

С учетом введенных обозначений равенства (8.9) примут вид

Формулы (8.11) можно записать в векторном виде

Сопоставляя (8.3) и (8.12), получаем формулу

Для абсолютно твердого тела известна формула . Здесь — вектор мгновенной угловой скорости, с которой твердое тело вращается относительно мгновенной оси, проходящей через полюс. В случае движения жидкой частицы мы получили более общую формулу (8.13). Слагаемое grad F обращается в нуль только тогда, когда все равны нулю, т. е. когда бесконечно малый объем жидкости движется как бесконечно малый объем абсолютно твердого тела.

Формула -запись теоремы, которую иногда называют теоремой Гельмгольца.

Скорость точки сплошной среды, принадлежащей бесконечно малому объему, складывается из трех слагаемых: скорости полюса, скорости точки во вращательном движении затвердевшей жидкой частицы вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс А, с угловой скоростью и скорости деформации .

Если обе части равенства (8.13) умножить на , то теорему Гельмгольца о разложении скорости можно записать для перемещений

Здесь — поступательное перемещение точки В жидкой частицы; — перемещение полюса; — перемещение точки В при повороте затвердевшей жидкой частицы вокруг оси, проходящей через полюс, на угол — деформационное перемещение. Такое представление перемещения точек жидкой частицы в виде суммы перемещений затвердевшей жидкой частицы и деформации единственно.

Итак, при рассмотрении движения точек жидкой частицы оказалось необходимым ввести понятие скорости деформации , являющейся потенциальным вектором:

где F — квадратичная функция (8.10). Проекция вектора

Здесь

Из (8.15) видим, что скорость деформации связана с таблицей которая в силу (8.16) симметрична: