§ 6. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ОБТЕКАНИЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА ПОТОКОМ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Пусть круговой цилиндр радиуса R движется со скоростью U в потоке жидкости, имеющем на бесконечности заданную скорость V, причем скорости U и V перпендикулярны оси цилиндра. Выбрав плоскость перпендикулярно образующим цилиндра, получим плоскую задачу о течении жидкости вне круга, движущегося со скоростью в потоке, имеющем на бесконечности скорость . Пусть в начальный момент времени ось цилиндра проходит через начало координат (рис. 22).

Рис. 22.

Так как движение плоское и безвихревое, то существуют комплексный потенциал и комплексная скорость Начнем наше рассмотрение с комплексной скорости. Из физических соображений ясно, что функция должна быть определена во всех точках плоскости (х, у) вне круга радиуса R.

Она должна быть всюду однозначна, ограничена и принимать на бесконечности заданные значения. Такая функция комплексного переменного может быть разложена в ряд Лорана по неположительным степеням :

Первый член этого ряда легко находится из условия в бесконечно далекой точке

При из (6.1) следует

Подставляя (6.2) в (6.1), имеем

Проинтегрировав ряд (6.3) по , получим комплексный потенциал

Комплексный потенциал (6.4) обеспечивает выполнение условий на бесконечности при любых значениях постоянных . Эти постоянные надо определить так, чтобы было выполнено условие обтекания цилиндра

Так как движение потенциальное, то В полярных координатах условие (6.5) на поверхности цилиндра r = R запишется в виде

Для того чтобы найти постоянные, входящие в w(z), удобно перейти в выражении (6.4) к полярным координатам, отделить вещественную и мнимую части и , продифференцировав по r, подставить в (6.6). Полученное равенство будет служить для определения Искомые коэффициенты будут, вообще говоря, комплексными. Положим

и, подставив (6.7) и (6.8) в (6.4), получим

Из (6.9) легко получить выражение для . Выпишем выражение для и производной

Положим в и, подставив в условие обтекания (6.6), будем иметь

Справа и слева в (6.12) стоят ряды Фурье. Сравнивая соответствующие коэффициенты, получим

откуда

Коэффициент В остался не определенным. Введем для него обозначение через новую постоянную Г. Положим

Подставляя (6.13) и (6.14) в (6.9), получаем выражение для комплексного потенциала

Вводя обозначения

запишем решение (6.15) в виде

Это общий вид комплексного потенциала обтекания кругового цилиндра. Он представляет сумму трех слагаемых, из которых — комплексный потенциал поступательного потока, второе слагаемое — комплексный потенциал течения от диполя, третье — потенциал течения от точечного вихря. Таким образом, течение около цилиндра можно рассматривать как течение, полученное наложением поступательного потока на поток от диполя н от вихря. Постоянная Г, имеющая смысл интенсивности вихря, входит в решение как параметр.

1. Пусть обтекается неподвижный цилиндр. Тогда и

Рис. 23.

2. Пусть цилиндр движется в жидкости, покоящейся на бесконечности. Тогда и

3. Пусть цилиндр неподвижен и скорость потока в бесконечности равна нулю. Если и , то

Имеем чисто циркуляционное обтекание цилиндра.

Обтекание неподвижного цилиндра. Займемся анализом картины течения около кругового цилиндра. Будем предполагать, что U = 0, т. е. цилиндр неподвижен и поток на бесконечности направлен вдоль оси х (ось х всегда можно направить по направлению скорости в бесконечности). Комплексный потенциал (6.18) при принимает вид

Рассмотрим два случая.

А. Бесциркуляционное обтекание цилиндра (рис. 23). В этом случае

или

Отсюда

Линии тока , т. е.

есть кривые третьего порядка, симметричные относительно . Линии симметричны относительно . При уравнение линии тока распадается на два множителя; и — окружность.

Рассмотрим поле вектора скорости. Перейдем к полярным координатам . Тогда

Формулы (6.24) дают компоненты скорости в любой точке потока. Полагая в получаем скорость на поверхности цилиндра

В точках цилиндра скорость равна нулю, т. е. точки — критические. В точках скорость имеет наибольшую величину, равную . Если скорость известна, можно найти давление из интеграла Бернулли

Как видно из (6.26), в точках цилиндра N, Р, Q, М. определяемых углами давление одинаково, и потому главный вектор сил, действующих на цилиндр, будет равен нулю.

Б. Обтекание цилиндра потоком с циркуляцией. В этом случае имеет вид (6.21). Комплексная скорость

Найдем критические точки потока, в которых Приравнивая нулю , получаем квадратное уравнение, корни которого дадут координаты критических точек

Здесь возможны различные случаи:

а) — критические точки расположены на обтекаемом цилиндре симметрично относительно оси

б) - две критические точки сливаются в одну, расположенную на мнимой оси: .

в) — оба корня уравнения мнимые, причем . В области течения имеется одна критическая точка на мнимой оси вне цилиндра.

Картина течения в рассмотренных случаях, если для определенности принять , изображена на рис. 24.

Рис. 24.

В рассматриваемом случае обтекания цилиндра с циркуляцией линии тока симметричны относительно оси у. Давления в точках цилиндра, симметричных относительно оси у, одинаковы по величине. Симметрии течения относительно оси х здесь уже нет. Поэтому возникает сила, действующая на цилиндр в направлении оси у. Сила в направлении оси х, как и в первом случае, равна пулю.

Результат, заключающийся в том, что тело, обтекаемое потоком идеальной жидкости, не испытывает сопротивления, носит название парадокса Даламбера.

Если в случае в) величину Г увеличивать так, что , то критическая точка по мнимой оси будет удаляться от цилиндра и в пределе получим чисто циркуляционное течение.

Можно поставить вопрос: какое же течение реализуется на самом деле? Для идеальной жидкости возможны все указанные случаи. При решении задачи об обтекании цилиндра либо должна быть задана циркуляция, либо какие-то дополнительные условия (например, симметрия потока и др.). Тот факт, что решение задачи содержит произвольный параметр Г, оказывается существенным при решении многих практически важных задач.