§ 16. ОБТЕКАНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПРОФИЛЯ. МЕТОД НУЖИНА

В предыдущих параграфах было рассмотрено обтекание нескольких типов контуров (эллипс, пластинка, профили Жуковского), для которых конформное преобразование внешности профиля во внешность круга найдено точно. Для расчета обтекания профиля произвольной формы имеются различные методы, использующие идею приближенного конформного отображения внешности заданного профиля на внешность круга (методы Теодорсена, Симонова, Серебрийского, Нужина).

В настоящем параграфе будет рассмотрен метод приближенного построения конформного отображения внешности заданного контура на внешность круга, предложенный С. Г. Нужиным в 1947 г. Для этого метода доказана сходимость процедуры последовательных приближений.

Пусть в плоскости z задан профиль (рис. 33). Отметим точки А и В, наиболее удаленные друг от друга. Введем систему координат таким образом, что ось х будет направлена по хорде АВ, начало координат расположим в ее середине.

Рис. 33.

Пусть уравнения верхней и нижней частей профиля

При построении функции , осуществляющей отображение внешности профиля (16.1) на внешность единичного круга в плоскости будем иметь в виду, что бесконечные точки в плоскостях z и соответствуют друг другу и .

Будем искать функцию в виде ряда

Здесь — вещественное положительное число. Пусть

Подставляя (16.3) в (16.2), учитывая, что в плоскости на окружности единичного радиуса получаем

Отсюда

При изменении от 0 до точка с координатами х и у должна описывать контур в плоскости .

Нужно найти такие коэффициенты , чтобы формулы (16.5) были параметрическими уравнениями заданного профиля. Задача о нахождении коэффициентов разложений (16.4) и (16.5) решается приближенно.

Здесь нужно учесть, что для любого метода последовательных приближений очень существен выбор нулевого приближения.

В методе Нужина за нулевое приближение была принята функция Жуковского

которая отображает внешность круга на внешность отрезка [-а, а]. Согласно (16.6)

Формула (16.7) устанавливает соответствие между и 0. Если меняется от 0 до , имеем верхний берег разреза, если 0 меняется от до — нижний.

Сопоставляя (16.7) с (16.4) и (16.5), получаем

Для того чтобы в следующем приближении учесть толщину профиля, в формулах (16.1) заменяют на из (16.7). Тогда в первом приближении будем иметь

или

Функцию можно разложить в ряд Фурье:

(16.10)

Ряд (16.10) может быть использован для нахождения в первом приближении коэффициентов разложений (16.5).

Запишем (16.5) для первого приближения:

Сравнивая (16.10) и (16.12), получим

Из (16.13) видно, что у нас нет данных для определения . Укажем условия, из которых их можно найти. Подставляя (16.13) в (16.11), будем иметь

Из выбора системы координат следует, что в любом приближении должно быть

При этом в первом приближении точкам соответствуют значения и которые не равны значениям (При хорошем выборе нулевого приближения будут близки к величинам 0 и .) Из равенства

(16.16)

получим

(16.17)

(при дифференцировании (16.14) коэффициент исчезает, неизвестным остается лишь ).

Подставим экстремальные значения в (16.14) и образуем выражение

(16.18)

Из (16.18) находим численно . Потом из любого равенства (16.15) найдем . Тогда все коэффициенты разложения (16.2) будут определены, т. е. нам будет известна функция

(16.19)

Для дальнейшего уточнения решения нужно по существу повторять ту же процедуру, которая позволила перейти от нулевого приближения к первому.

Так, для получения второго приближения надо найденное подставить в (16.1), в результате чего найдем

где определены в (16.17) с учетом (16.18). Имея (16.20), можно провести вычисления, аналогичные проделанным при получении первого приближения, и найти второе приближение . Подобным же образом могут быть определены третье и последующие приближения.

Для метода Нужина доказана сходимость, т. е. доказано, что

Обычно делают от двух до пяти приближений в зависимости от требуемой точности. Наиболее трудоемкими процедурами являются вычисление коэффициентов Фурье (вычисление квадратур) и решение серии трансцендентных уравнений для отыскания

Расчеты показывают, что наибольшие ошибки получаются около задней кромки и около носика профиля. Решение может быть несколько упрощено за счет хорошего выбора нулевого приближения. Можно модифицировать метод Нужина, взяв за нулевое приближение не пластинку, а теоретический профиль, например обобщенный профиль Жуковского, близкий к исходному профилю в носке и задней кромке.

Мы получили приближенно отображающую функцию в виде ряда. Однако для решения задач обтекания нужна обратная функция . Обращение функции может оказаться затруднительным (особенно вблизи профиля). Можно отказаться от построения и использовать функцию ):

(16.21)

Присоединив к (16.21) найденную функцию

(16.22)

можем исследовать решение задачи в параметрическом виде, используя сразу (16.21) и (16.22). Обычно важно знать скорости

Имея (16.21) и (16.22), можем вычислить скорость

Решение получим в виде