ГЛАВА XIV. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Течение называется осесимметричным, если существует такая прямая , что во всех плоскостях, проходящих через картина течения одинакова и траектории жидкой частицы лежат в полуплоскостях, проходящих через I. С осесимметричными течениями мы часто имеем дело на практике: например, при изучении течений в трубах и каналах, а также при обтекании тел вращения без угла атаки.

Осесимметричные течения могут описываться как в цилиндрических , так и в сферических координатах. В цилиндрических координатах в случае осесимметричного течения все гидродинамические величины зависят только от и и не зависят от а в сферических координатах они зависят от и и не зависят от .

§ 1. ИСТОЧНИКИ В ПРОСТРАНСТВЕ

Рассмотрим сферически-симметричное течение от источника обильности q, помещенного в начале координат. Такое течение представляет собой частный случай осесимметричного (все гидродинамические величины функции только . Поскольку жидкость несжимаемая, то уравнение неразрывности во всех точках, не совпадающих с началом координат, имеет вид . Поскольку течение безвихревое, то и потенциал скоростей удовлетворяет уравнению Лапласа.

В сферических координатах выражение для имеет вид (см. (4.21) гл. II)

Уравнение для потенциала скоростей получим, подставляя выражение для компонент скорости в этих координатах

в уравнение неразрывности

В случае сферически-симметричного течения , поэтому из уравнения Лапласа (1.3) следует, что

откуда, интегрируя, получаем

Так как потенциал скоростей определен с точностью до произвольной постоянной, не ограничивая общности, можно считать, что , т. е.

Зная можем вычислить проекции скорости на оси координат

Рассмотрим сферу радиуса с центром в начале координат. Выразим постоянную С через обильность источника q. Обильность источника есть количество жидкости, протекающей через поверхность сферы в единицу времени. Очевидно, что

Тогда потенциал скоростей в случае течения от источника, помещенного в начале координат, запишется в виде

Замечание 1. Если источник помещен не в начале координат, а в точке с декартовыми координатами а, b, с, то

Замечание 2. Потенциал скоростей является решением уравнения Лапласа во всех точках, кроме точки

Поставим вопрос, какому уравнению удовлетворяет этот потенциал в точке Вычислим расход жидкости через любую поверхность, охватывающую начало координат:

Используя формулу Гаусса — Остроградского, имеем

Последнее преобразование носит формальный характер, так как функция и ее производные разрывны при

Таким образом, интеграл по любому объему , содержащему начало координат, равен одному и тому же значению q. Вследствие этого подынтегральная функция может быть представлена в виде

где - трехмерная дельта-функция, или функция Дирака, равная нулю всюду, кроме такая, что

На основании этого можно считать, что в области, содержащей начало координат, потенциал удовлетворяет не уравнению Лапласа, а уравнению Пуассона с правой частью, содержащей функцию Дирака.

Хотя приведенное определение дельта-функции, как легко видеть, математически противоречиво, формальное использование этой функции часто оказывается очень полезным. В современной математической физике построена строгая теория функций Дирака и других аналогичных функций (теория обобщенных функций).