§ 4. О ВОЗНИКНОВЕНИИ ВИХРЕЙ

Теорема Лагранжа о безвихревом движении жидкости и теорема Гельмгольца о сохранении вихрей справедливы при предположениях, что жидкость идеальна, баротропна и массовые силы консервативны. Вопрос о том, к чему приводит отказ от предположения об идеальности жидкости, будет рассмотрен в дальнейшем. В этом параграфе будет показано, что если жидкость не баротропна или массовые силы не консервативны, то вихри даже в идеальной жидкости могут возникать и уничтожаться. При доказательстве теоремы Томсона было получено равенство (1.6). Учитывая уравнения Эйлера, описывающие движение идеальной жидкости

уравнение (1.6) можно переписать в виде

Рассмотрим два случая: 1) жидкость баротропна: но массовые силы не консервативны; 2) жидкость бароклинна, т. е. плотность зависит не только от давления, но и от других параметров, например, температуры, влажности (для воздуха) или от солености (для воды).

В первом случае имеем и, следовательно,

Равенство (4.1) принимает вид

Но правая часть - работа силы, действующей на единицу массы, при обходе контура I. Эта работа в неконсервативном поле, вообще говоря, не равна нулю. Следовательно, и теорема Томсона несправедлива, вихри могут возникать и могут уничтожаться.

Рассмотрим второй случай, предполагая, что массовые силы консервативны: , но жидкость бароклинна. В этом случае равенство (4.1) принимает вид

где .

Рассмотрим два семейства поверхностей: р = const (изобарические поверхности) и (изостерические поверхности). В баротропной жидкости плотность сохраняет постоянное значение на изобарической поверхности. Следовательно, в баротропной жидкости изобарические и изостерические поверхности совпадают. В рассматриваемом же нами случае эти поверхности будут пересекаться. Четыре поверхности: образуют трубку, которая называется изобаро-изостерической.

Рис. 45.

Рассмотрим трубку, для которой и контур ABCD, охватывающий эту трубку (рис. 45). Тогда

При другом расположении поверхностей можно получить равенство . В первом случае трубка называется единичной отрицательной, а во втором — единичной положительной изобаро-изостерической трубкой. Если контур охватывает единичных положительных трубок и отрицательных, то

Равенства (4.3), (4.5) составляют содержание теоремы Бьеркнеса. Они показывают, что в бароклинной жидкости и, следовательно, вихри в бароклинной жидкости могут возникать и уничтожаться.