ГЛАВА XII. ПЛОСКИЕ БЕЗВИХРЕВЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Течение называется плоским, если все частицы движутся параллельно некоторой плоскости, причем скорости частиц в соответствующих точках плоскостей, параллельных этой фиксированной плоскости, одинаковы по величине и направлению. Очевидно, в этом случае достаточно рассмотреть течение в одной плоскости, которую можно принять за плоскость . При таком выборе системы координат все величины будут зависеть только от координат х, у. Это означает, что . Так как течение предполагается установившимся, . Следует иметь в виду, что, говоря о течении в плоскости, мы фактически рассматриваем течение в слое между плоскостью (х, у) и ей параллельной. Так, например, обтеканию контура в плоскости (х, у) соответствует в пространстве обтекание цилиндра, для которого контур в плоскости (х, у) является направляющей.

§ 1. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ

Так как жидкость несжимаема, то плотность постоянна и должна быть известна: . Искомые функции

Уравнениями плоской задачи являются уравнение неразрывности, уравнения Эйлера в проекциях на оси х и у и уравнение энергии. Для несжимаемой жидкости уравнение неразрывности будет иметь вид

Будем считать, что массовые силы консервативны или отсутствуют. Тогда при предположениях, сделанных в данной главе, справедлив интеграл Эйлера — Бернулли. Поэтому вместо уравнений Эйлера используем условие отсутствия вихря и интеграл Эйлера — Бернулли.

Условие отсутствия вихря для плоского движения, когда , приводит к равенству

Интеграл Эйлера — Бернулли имеет вид

Уравнение энергии для несжимаемой жидкости, если нет притока тепла, дает

т. е. для несжимаемой жидкости энергия в частице сохраняется.

Уравнения (1.2), (1.3) содержат лишь функции vx и vy. Уравнение (1.4) может быть использовано для нахождения давления, если известны скорости vx и vy.