ГЛАВА XI. ОБОБЩЕННЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ

В данной главе рассматривается задача о течении газа в трубе, поперечное сечение которой меняется медленно вдоль оси трубы . В этом случае можно построить приближенное решение указанной задачи, используя тот факт, что составляющая скорости изменяется мало по сечению трубы и поперечные ускорения малы.

§ 1. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ

Выпишем систему уравнений, считая, что жидкость баротропна и массовые силы отсутствуют:

Предположим, что поперечными ускорениями можно пренебречь по сравнению . Тогда из формул (1.2), (1.3), если в них положить , получим приближенные равенства

Из равенств (1.6) следует, что давление р, а из (1.5), что и плотность р зависят только от х и t, т. е.

Предположим, что vx также есть функция только х и t, т. е. что оставшимся уравнениям можно удовлетворить, положив

Система уравнений (1.1) — (1.5) в силу (1.7) и (1.8) примет вид

В этой системе три уравнения и пять неизвестных функций. Преобразуем уравнение (1.10) так, чтобы из него исчезли vy и vz, и тем самым получим систему трех уравнений для определения интересующих нас величин (1.7) и (1.8).

Рис. 15.

Проинтегрируем уравнение (1.10) по поперечному сечению трубы F:

Три первых слагаемых не зависят от у и z, поэтому (1.12) можно переписать в виде

Преобразуем интеграл в формуле (1.13). Учитывая, что р постоянно по сечению: , и вводя вектор поперечной скорости , получаем

Перемещение частиц за время можно представить как сумму перемещения вдоль оси х на расстояние и перемещения в поперечной плоскости (рис. 15). Частицы с контура I перейдут на контур . Расстояние по нормали от до равно . Изменение площади равно площади кольца

Заменяя в (1.13) согласно (1.14) двойной интеграл криволинейным и учитывая (1.15), получаем

Считая, что труба не деформируется, т. е. , запишем (1.16) в виде

Отсюда окончательно получим

Уравнения (1.18), (1.9) и (1.11) образуют систему уравнений для отыскания . Для установившихся течений эта система приобретает вид

Уравнения (1.19) могут быть легко проинтегрированы. Решение задачи об одномерном установившемся движении жидкости получим в виде

Второе уравнение в (1.20) есть запись интеграла Бернулли для полученного приближенного решения задачи. Пренебрежение поперечными ускорениями, принятое вначале, равносильно тому, что в выражении для мы пренебрегаем величиной по сравнению с .

Так, например, если взять трубу с углом полураствора а, таким, что , то , т. е. указанное рассмотрение дает точность порядка одного процента.