§ 4. ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В КРУГЛОЙ ТРУБЕ

Рассмотрим установившееся течение вязкой жидкости в круглой трубе радиуса R (рис. 54). Труба неподвижна, ось х совпадает с осью трубы. Для определения поля скоростей надо решить уравнение (1.13) при условии, что в любом поперечном сечении на контуре трубы скорость равна нулю. ввести цилиндрические координаты. Переходя от координат у, z к координатам , получим

Исследуемое течение осесимметрично, поэтому зависит лишь от . Уравнение (1.13) при этом становится обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка.

Таким образом, задача свелась к решению уравнения

при условии

Уравнение (4.1) можно переписать в виде

Интегрируя, получим

Постоянную следует положить равной нулю, так как иначе на оси трубы скорость будет неограниченной величиной, что не имеет физического смысла. Постоянную находим из граничного условия (4.2):

Таким образом, для поля скоростей вязкой жидкости внутри трубы имеем формулу

Формула - формула Пуазейля.

Подсчитаем расход жидкости через поперечное сечение трубы:

Таким образом, расход пропорционален падению давления, четвертой степени радиуса трубы и обратно пропорционален коэффициенту вязкости. Обычно интересуются падением давления в зависимости от . Формула (4.7) используется также для экспериментального определения коэффициента вязкости.

Полученное решение (как и решение предыдущей задачи в § 3) не всегда хорошо согласуется с экспериментом. Оказывается, что качественная картина течения существенно зависит от безразмерного параметра , введенного Рейнольдсом. Числом Рейнольдса называют величину ; где v и - характерные для данного течения скорость и размер.

Для течений в трубах за характерную скорость принимают среднюю скорость

Если , то имеется хорошее совпадение теории с экспериментом. При происходит резкое изменение картины течения. При небольших каждая частица жидкости движется по прямой, движение слоистое, спокойное. Такое течение называется ламинарным. При каждая из частиц жидкости совершает хаотическое движение, течение перестает быть одномерным и стационарным. На среднюю скорость накладываются дополнительные составляющие, зависящие от времени и координат. Такое течение называется турбулентным.

Формулы (3.6), (4.6) справедливы только для ламинарных течений. Число , при котором происходит переход течения от ламинарного режима к турбулентному, называется критическим числом Рейнольдса. Цифра , которая приводилась выше, относится к обычным технически гладким трубам. Однако на самом деле переход ламинарного режима в турбулентный — явление сложное. В частности, число при специальных условиях может быть сильно увеличено. Рейнольдсом был проведен следующий опыт. Брались специальным образом подготовленные очень гладкие трубы с очень гладким входом. Жидкость подавалась в трубу из специальных баков, в которых она отстаивалась в течение 2—3 недель. Тогда критическое число возрастало до . Таким образом, переход к турбулентному режиму существенно зависит от уровня начальных возмущений. Кроме того, существует и нижняя граница Если то течение всегда ламинарное. Известно также, что задержке перехода к турбулентному режиму способствует добавление в жидкость молекул полимеров.

Примечание. Решение (4.4), полученное для осесимметричных течений в круглой трубе, содержит две произвольные постоянные. В этом решении равенство нулю постоянной обеспечивало ограниченность скорости внутри трубы. Для случая осесимметричных установившихся течений жидкости внутри кольцевой трубы решение (4.4) также справедливо, только постоянные должны быть определены из условий прилипания жидкости к каждой из стенок трубы . В самом общем случае эти условия имеют вид

где — скорости, с которыми трубы движутся параллельно своей оси (оси х). Если стенки труб неподвижны то движение жидкости может иметь место только за счет

(отсутствует страница)

шается с угловой скоростью , а внешний — со скоростью . Для решения задачи удобно ввести цилиндрические координаты и записать в этих координатах систему уравнений вязкой жидкости. Для этого надо найти выражения в этой системе координат. Естественно предполагать, что скорость направлена по касательной к окружности и зависит так же, как и давление, только от , т. е. . Полученная система уравнений применительно к рассматриваемой задаче, когда движение установившееся, принимает простой вид и позволяет сразу получить решение задачи в виде

Постоянные определяются из граничных условий. Однако для решения рассматриваемой задачи мы используем другой путь.

Чтобы найти зависимости запишем закон сохранения момента количества движения в слое (рис. 55). Пусть М — момент сил, действующих на этот слой. Поскольку течение плоское, вектор М направлен по оси . В силу стационарности движения имеем равенство . Очевидно, что , где — момент сил, действующих на внутренний цилиндр, — момент сил вязкого трения, приложенных к цилиндру радиуса . Величина этого вектора

Рис. 55.

Здесь — проекция на ось (т. е. на направление v) напряжения, действующего на площадку с нормалью . При наших предположениях оно зависит только от , поэтому

Таким образом, закон сохранения момента дает равенство

Пусть угол отсчитывается от оси у. Очевидно, что

Поскольку не зависит от , последнее соотношение верно при всех . Таким образом,

Далее имеем и

Используя эти равенства, на основании (6.2) получим

Подставляя (6.4) в (6.1), получим уравнение для отыскания

Общее решение этого уравнения дается формулой

где . Постоянные определяются из граничных условий

или, более подробно,

Решая систему (6.8), получим

Таким образом, распределение скоростей между соосными цилиндрами дается формулой

Имея формулу (6.10), легко вычислить и

где имеет вид (6.9).

Заметим также, что, измеряя в эксперименте можно определить вязкость.

Отметим частные случаи течения.

а) Оба цилиндра вращаются с одинаковой угловой скоростью: . Для этого случая из (6.10) получаем

Вязкая жидкость вращается как твердое тело с той же угловой скоростью.

б) Жидкость заполняет безграничное пространство вне цилиндра . В этом случае

в) Один из цилиндров неподвижен, например . Тогда