§ 3. ПОДОБИЕ УСТАНОВИВШИХСЯ ТЕЧЕНИЙ

Два течения вязкой жидкости (первое и второе) будем называть подобными, если значения соответственных гидродинамических величин, вычисленные для сходственных пространственно-временных точек, отличаются лишь некоторыми постоянными множителями. Эти множители могут быть разными для различных гидродинамических величин (один для скорости, другой для давления).

Пусть имеем два течения около геометрически подобных тел. Пусть они характеризуются величинами

Для каждого из этих движений можем выписать безразмерную систему уравнений

Решения систем (3.2), если иметь в виду внешние задачи об обтекании тел, должны удовлетворять условиям прилипания на границах обтекаемых тел ( — поверхность тела с характерным размером, равным единице) и условиям на бесконечности

Так как безразмерные искомые величины и отличаются от размерных искомых величин постоянными множителями, то для подобия движений достаточно, чтобы в сходственных пространственно-временных точках имели место равенства

Так как краевая задача об отыскании величин и ставится для одинаковых областей, для которых характерный размер равен единице, при одинаковых условиях на границе обтекаемых тел для выполнения (3.4) достаточно, чтобы:

1) уравнения (3.2) для течения и для течения совпадали;

2) условия на бесконечности были одинаковы, т. е.

ибо тогда обе краевые задачи будут тождественны. Для совпадения уравнений необходимо, чтобы

что с учетом (2.3) дает следующее равенство:

Условия (3.5), записанные в размерных величинах, приводят к соотношению

Равенства (3.7) и (3.8) и являются условиями, достаточными для подобия течений. Как видно, они носят векторный характер. Из этого следует, что для выполнения (3.7) необходимо, чтобы векторы были параллельны: для выполнения чтобы были параллельны скорости на бесконечности: . Если считать, что эти условия параллельности выполнены, то из (3.7) и (3.8) получаем

Если (3.9) возвести в квадрат и разделить на (3.10), то будем иметь

Условия (3.9), (3.11) эквивалентны условиям (3.9), (3.10). Безразмерную величину называют числом Рейнольдса, безразмерную величину называют числом Фруда.

Таким образом, два установившихся течения около геометрически подобных тел будут подобны, если выполнены следующие четыре условия:

где числа вычисляются по скоростям на бесконечности. Обычно условия 1) и 2) подразумеваются выполненными, и тогда условия подобия записываются в виде

Заметим, что число содержит коэффициент v. Этот параметр подобия характерен для вязкой жидкости. В идеальной жидкости . Подобие же по числу Фруда имеет смысл как для вязкой, так и для идеальной жидкости.

Рассмотрим теперь следующий вопрос. Пусть произведен опыт с моделью в аэродинамической трубе. Когда можно использовать данные этого эксперимента для реальных обтеканий? Предположим, что условия 1), 2) выполнены и g — поле силы тяжести. Пусть индексом 1 отмечаются величины, связанные с экспериментом в трубе. Тогда для подобия течений нужно выполнение равенств

Если оба эксперимента проводятся в условиях Земли, то , если среда одна и та же (например, воздух), то, кроме того, . Тогда условия (3.14) перепишутся следующим образом:

Обычно размер модели меньше размеров реального тела. Поэтому для выполнения первого условия необходимо, чтобы выполнялось неравенство , а для выполнения второго условия необходимо выполнение неравенства Таким образом, подобие по числам приводит к противоречивым условиям.

Один из возможных выходов из этой трудности связан с проведением экспериментов при высоких давлениях. Тогда за счет изменения плотности в принципе можно добиться подобия по при . Однако дело в том, что числа не во всех условиях одинаково существенны. При исследовании волновых процессов (в частности, качки корабля), когда существенно влияние силы тяжести, моделируют по числу Фруда. При исследовании силы сопротивления, наоборот, существенно влияние вязкости — моделируют по числу Рейнольдса.

Можно в уравнения (2.1) ввести вместо функции функцию :

перепада давлений . Безнапорное движение жидкости возможно если хотя бы одна из стенок перемещается.