§ 2. УСЛОВИЕ ДЛЯ СИЛ

Выпишем уравнения (1.7) в проекциях:

Продифференцируем первое уравнение по у, второе по и вычтем одно из другого. Получим

Аналогично получим еще два уравнения:

Умножая и складывая, получим

или в векторном виде

Условие (2.5) необходимо для возможности равновесия. Это условие есть необходимое и достаточное условие для того, чтобы векторное поле F имело вид

где В и V — некоторые функции координат. Подставляя (2.6) в (1.7), получаем

Образуем якобиан д и учтем при этом уравнения равновесия (2.1) и равенство (2.6):

Аналогично получим

Равенства (2.8) означают, что между р и V имеется функциональная зависимость

Из уравнения (2.7) следует, что , т. е.

Равенство (2.5) или эквивалентное ему равенство (2.6) дает общий вид сил, при которых возможно равновесие. При выполнении (2.5) силовые линии ортогональны к поверхностям . Направление F параллельно grad V.