§ 1. ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ И СИСТЕМА УРАВНЕНИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

Будем считать, что . Упростим уравнения движения вязкой жидкости применительно к пограничному слою, пользуясь тем, что . Течение жидкости предполагаем ламинарным.

Рассмотрим задачу об обтекании некоторого контура плоским потоком вязкой жидкости. Положение точки в пограничном слое можно определить, задавая длину дуги, отсчитываемую от точки разветвления потока, и расстояние у по нормали от контура. Так как толщина пограничного слоя весьма мала по сравнению с радиусом кривизны, то, пренебрегая кривизной контура, можно в пределах слоя рассматривать х и у как прямоугольные декартовы координаты. Если внешних сил нет, то движение жидкости описывается системой уравнений

Будем рассматривать течение внутри слоя , где — толщина пограничного слоя. Займемся оценкой членов, входящих в уравнения (1.1) — (1.3), предполагая, что

Составляющая на внешней границе пограничного слоя имеет порядок V, где V — скорость на бесконечности. Предположим, что это справедливо во всем пограничном слое, т. е.

При изменении от нуля до I скорость меняется на величину порядка V, поэтому

При изменении у от 0 до скорость меняется от нуля (на стенке) до величины порядка V, поэтому

В силу предположения поэтому уравнение (1.1) приобретает вид

Оценим порядок членов в левой части уравнения (1.8). В силу (1.5), (1.6) имеем

Порядок величины можно оценить, используя уравнение неразрывности

Следовательно,

Если дополнительно предположить, что рассматриваются только такие нестационарные течения, для которых имеет тот же порядок или меньше, то левая часть уравнения имеет порядок .

Прандтль предположил, что в пограничном слое силы инерции и силы вязкого трения одного порядка. Принимая это предположение, получим, что

или, учитывая (1.7),

Отсюда следует, что

Относительная толщина пограничного слоя обратно пропорциональна (так называемый первый результат теории пограничного слоя). Чем больше число , тем тоньше пограничный слой.

Для оценки члена используем следующие соображения. На внешней границе пограничного слоя при установившемся течении справедлив интеграл Бернулли

Отсюда

Этот результат мы имеем и из уравнения (1.8). Рассмотрим теперь уравнение (1.2). Имеем

Очевидно, в слагаемое можно отбросить по сравнению с . Воспользовавшись оценкой (1.9), получим

Из (1.11), (1.12) и уравнения (1.2) следует, что

Из сравнения (1.13) с (1.10) следует, что в пограничном слое

Таким образом, давление по оси у меняется существенно медленнее, чем по оси , поэтому уравнение (1.2) можно заменить уравнением

Давление поперек пограничного слоя не меняется.

Система уравнений вязкой жидкости содержит еще уравнение неразрывности. Оно остается без изменений.

Уравнения (1.8), (1.3), (1.14) образуют систему уравнений пограничного слоя

Последнее из уравнений (1.15) означает, что давление через пограничный слой по нормали передается без изменения. Так как вне пограничного слоя жидкость можно считать идеальной, давление может быть взято из решения уравнений идеальной жидкости. Но так как пограничный слой тонок, то можно считать, что во всем пограничном слое зависимость давления р от такая же, как в идеальной жидкости. Тогда два первых уравнения (1.15) можно рассматривать как систему уравнений пограничного слоя для функций , в которых — известная функция, найденная из решения задачи обтекания тела потоком идеальной жидкости.

Если течение установившееся, то вне пограничного слоя (идеальная жидкость) справедлив интеграл Бернулли

Если — скорость на внешней границе пограничного слоя, , то в силу того, что не изменяется поперек пограничного слоя (не зависит от у), уравнения, пограничного слоя с учетом (1.16) можно записать в следующем виде:

(1.17)

Так как, в частности, при то за функцию U может быть взято решение уравнений идеальной жидкости при При этом и зависит только от Искомые функции нужно находить как решение уравнений (1.17) при следующих граничных условиях:

1) на теле при (условия прилипания)

2) на внешней границе пограничного слоя

где — заданная малая величина.

Фактически ввиду неопределенности границы пограничного слоя неизвестна) соотношение (1.19) не является граничным условием, так как в нем где неизвестна.

Поэтому граничные условия несколько видоизменяют. Во-первых, решения системы (1.17) можно найти только при заданном значении при Во-вторых, условие на границе пограничного слоя заменяют условием при исходя из предположения, что внутри пограничного слоя быстро стремится к предельным значениям при удалении от тела.

Таким образом, вместо условий (1.18), (1.19) получают условия:

1) при

Имея распределение скоростей в пограничном слое, т. е. найдя решение уравнений (1.17), удовлетворяющее условиям (1.20), можно найти внешнюю границу пограничного слоя , используя (1.19):