§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ЗАПИСЬ ЗАКОНА МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

Рассмотрим функцию . Применяя закон сохранения моментов к тетраэдру и действуя так же, как и при выводе формулы Коши, получим аналогичную связь между :

Поток внутреннего момента будет полностью определен, если задана таблица составляющих псевдовекторов

Таблица — аффинный ортогональный псевдотензор второго ранга.

Преобразуем поверхностный интеграл, входящий в (1.18), к объемному, используя формулу (2.1):

С учетом (2.2) закон момента количества движения (1.18) в интегральной форме запишется в виде

Так как объем произволен, то подынтегральное выражение должно быть равно нулю. Отсюда

Равенство (2.3) — дифференциальная запись закона момента количества движения. Из (2.3) следует, что существует следующая связь между законом сохранения момента и симметричностью тензора напряжений.

1. Если жидкость без внутреннего момента количества движения, т. е. поле таково, что внутренний момент не возникает в объеме, т. е. , то, как следует из (2.3):

В развернутом виде это равенство дает

Из этого равенства следует симметрия тензора напряжений, т. е.

2. Если среда такова, что тензор напряжений у нее симметричен, то закон момента количества движения приобретает вид

Физически это означает, что в жидкости действуют два независимых закона: закон сохранения орбитального момента и закон сохранения внутреннего момента, причем закон сохранения орбитального момента является следствием закона сохранения количества движения.