§ 5. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ВИХРЯ

Получим уравнения, описывающие изменение вихря. Будем исходить из уравнений Эйлера, записанных в форме Громеки — Лэмба:

(5.1)

Применим к обеим частям этого равенства операцию rot. Тогда получим

Воспользуемся теперь следующими легко проверяемыми формулами векторного анализа:

где

Из формулы (5.5) следует, что

Из формул (5.3) и (5.4), если положить , будем иметь

Из формул (5.4) и (5.5) получим

Подставляя (5.7), (5.8), (5.9) в (5.2), имеем

или

Уравнение (5.10) называется уравнением Фридмана. Если поле массовых сил консервативно и жидкость баротропна, то

В этом случае уравнение Фридмана приобретает вид

Если, кроме того, жидкость несжимаема уравнение (5.10) запишется в виде

Уравнения (5.11), (5.12) впервые были получены Гельмгольцем. Теоремы Гельмгольца можно доказать исходя из уравнения

Уравнение Фридмана дает возможность количественно описать изменение вихря, происходящее вследствие неконсервативности массовых сил и бароклинности жидкости.