§ 3. ПАРАДОКС СТОКСА

Рассмотрим плоскую стационарную задачу. Систему уравнений можно тогда записать в виде

Если использовать эти уравнения для получения решения задачи об обтекании кругового цилиндра, когда граничные условия имеют вид

то оказывается, что такая задача вообще решения не имеет, так как невозможно удовлетворить одновременно условиям на теле и на бесконечности. Единственное решение задачи, удовлетворяющее условиям прилипания на теле, есть тождественный нуль. Такое же утверждение верно для произвольного цилиндра. Это — парадокс Стокса, а именно; если рассматривается обтекание цилиндра произвольной формы потоком вязкой жидкости, то уравнения Стокса для стационарной задачи в плоском случае решения не имеют. Возникает вопрос: справедливы ли те предположения, которые были использованы при переходе от уравнений Навье — Стокса к уравнениям Стокса. Для ответа на этот вопрос проверим, справедливы ли эти предположения в задаче об обтекании шара при том конкретном виде поля скоростей, которое мы имеем в этом случае. Если но формулам (2.4) вычислить члены, входящие в уравнения Навье - Стокса, и сравнить выброшенные члены и оставленные , то окажется, что в некоторой окрестности сферы отброшенные члени действительно малы по сравнению с оставленными. Однако на больших расстояниях от сферы отброшенные члены много больше сохраненных, Следовательно, предположения Стокса занедомо неверны на больших расстояниях от тела. В связи с этим возникают следующие вопросы: не а этом ли состоит причина парадокса Стокса, нельзя ли усовершенствовать уравнения Стокса, сохраняя линейность, но обеспечив корректность на больших расстояниях от тела.

Причина несуществования стационарного решения (парадокс Стокса) может быть в какой-то мере выяснена, если рассматривать

нестационарную задачу обтекания цилиндра потоком жидкости, который в начальный момент на бесконечности параллелен, и изучить поведение поля скоростей при t, стремящемся к бесконечности. Рассматривая эту задачу для кругового цилиндра, Б. Русанов установил, что для любой точки А в потоке, как угодно удаленной от цилиндра, скорость жидкости при стремится к нулю как Следовательно, цилиндр останавливает жидкость, находящуюся первоначально в движении. Это эквивалентно тому, что если цилиндр движется поступательно со скоростью то в системе координат, связанной с цилиндром, скорость жидкости в любой заданной точке будет при стремиться к , т. е. цилиндр увлекает за собой жидкость. Аналогичный результат верен для движущейся плоскости, как это было показано в § 2 главы XIX, но будет неверен в трехмерном пространстве для тела конечных размеров.