§ 11. ИНТЕГРАЛ ОТ КОМПЛЕКСНОЙ СКОРОСТИ
Рассмотрим криволинейный интеграл
1. Предполагаем, что движение потенциальное, т. е. существует 
. Тогда 
Здесь 
— приращение функций 
при обходе контура.
Рассмотрим каждый из интегралов в отдельности. Вдоль контура 
, где — проекция скорости на элемент контура 
и потому
Таким образом, первый интеграл равен циркуляции скорости по контуру. Второй интеграл, как было установлено раньше, дает расход жидкости через контур
Итак, при обходе замкнутого контура будет 
, т. е. интеграл от комплексной скорости равен
2. Комплексная скорость 
есть функция комплексного переменного, которая может иметь особенности в точках внутри области, ограниченной контуром I. Пусть 
— точки внутри области с контуром I, являющиеся особыми для функции 
Обозначим через 
и вычеты в этих особых точках. По теореме о вычетах интеграл по замкнутому контуру равен
где 
.
Сопоставляя (11.5) и (11.6), получаем
