§ 4. ФУНКЦИЯ ТОКА ДЛЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЧЕНИЙ

При рассмотрении осесимметричных течений удобно использовать цилиндрические координаты. В цилиндрических координатах уравнение неразрывности имеет вид (см. (4.16) гл. II)

В осесимметричном течении, если ось симметрии принята за ось z, все гидродинамические величины не зависят от 0. Поэтому в этом случае из (4.1) имеем

Рассмотрим выражение . Вследствие (4.2) оно является полным дифференциалом некоторой функции

(4.3)

Но по определению полного дифференциала

Поэтому

Функцию , существование которой является следствием уравнения неразрывности и производные от которой по координатам связаны с компонентами скорости соотношениями (4.5), называют функцией тока для осесимметричного течения.

Так же как и в плоском случае, функция тока обладает двумя характерными свойствами.

1. Функция тока постоянна на линии тока. Действительно, в случае осесимметричного течения уравнение линий тока имеет вид

Отсюда следует, что на линии тока и

Рис. 40.

2. Через можно выразить расход жидкости. Подсчитаем расход жидкости, т. е. объем жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность, полученную вращением кривой АВ вокруг оси z (рис. 40):

Здесь — внешняя нормаль к дуге АВ.

Учитывая, что в цилиндрических координатах векторы v и имеют соответственно проекции и перепишем (4.6) в виде

Поскольку , то

Так как выражение для Q можно записать в виде

Очевидно, что если контур АВ замкнутый, то Q = 0.

Если движение потенциальное, то существует потенциал скоростей . В цилиндрических координатах

причем для течения с осевой симметрией . Из (4.7) и (4.5) видно, что производные функций связаны следующими соотношениями:

Заметим, что (4.8) отличаются от условий Коши — Римана, которые имели место в плоской задаче.

Запишем теперь уравнение для функций . Сначала продифференцируем первое из условий (4.8) по z, второе по р и вычтем одно из другого:

Уравнение (4.9) есть уравнение для функции тока в случае осесимметричных течений. Это уравнение отличается от уравнения Лапласа, которому удовлетворяла функция тока в плоском случае. Теперь умножим соотношения (4.8) на р, затем первое из них продифференцируем по р, а второе по и сложим:

Уравнение (4.10) есть уравнение для потенциала скоростей в случае осесимметричных течений. Оно представляет собой уравнение Лапласа, записанное в цилиндрических координатах.

Заметим, что если известна одна из функций или , то вычисление второй из них сводится к квадратуре. Действительно, если известен потенциал скорости , то для имеем

Аналогично для

Рассмотрим несколько примеров. Запишем функции тока для некоторых осесимметричных течений.

1. Поступательный поток По формуле (4.11) имеем . Если ось потока есть линия тока , то .

2. Течение от источника Очевидно, что

Используя второе из соотношений (4.8), имеем . Отсюда

Вычисляя производную от по z, получаем

Но на основании первого из равенств (4.8) , откуда следует, что .

Таким образом, функция тока в случае течения от источника будет

3. Течение от диполя: . Запишем выражение для используя первое равенство (4.8):

Отсюда будем иметь

Вычисляя производную от этой функции по р и сравнивая ее с выражением для которое можно получить исходя из второго соотношения (4.8), найдем, .

Таким образом, функция тока для течения от диполя имеет вид

Замечание о постановке задач в случае потенциальных осесимметричных течений идеальной несжимаемой жидкости. Если ищется потенциал скоростей , то в случае осесимметричного течения нужно интегрировать уравнение Лапласа (4.10) с граничными условиями на поверхности тела и на бесконечности (если рассматривается обтекание неподвижного тела безграничным потоком) .

Другими словами, задача о нахождении есть задача Неймана соответственно внутренняя или внешняя в зависимости от того, бесконечна область или ограничена.

Если ищется функция тока то интегрируется уравнение (4.9) с граничными условиями на теле и на бесконечности .

Как уже говорилось, в отличие от плоских течений функция тока в данном случае не является гармонической функцией.

Рис. 41.

С этим связано то обстоятельство, что для осесимметричных течений метод конформных отображений, столь эффективный для плоских задач, не может быть использован. Для решения задач в осесимметричном случае хорошо зарекомендовал себя метод источников и стоков, который рассматривается в следующем параграфе.