ГЛАВА VII. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ГИДРОМЕХАНИКИ ИДЕАЛЬНОЙ НЕТЕПЛОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ДЛЯ НЕЕ

Уравнения, представляющие собой запись законов сохранения, вместе с дополнительными соотношениями, содержащимися в предыдущей главе, образуют систему уравнений гидромеханики. В главе VI на с. 70 была выписана система уравнений, представляющая собой запись в дифференциальной форме законов сохранения: закона сохранения массы, закона количества движения, закона момента количества движения и закона сохранения энергии.

В этой главе рассматриваем идеальную жидкость. Для нее тензор напряжений имеет вид . В дальнейшем будем рассматривать жидкости без внутреннего момента. Закон моментов при (учитывая вид ) будет удовлетворяться тождественно, поэтому выписывать его не будем.

§ 1. СИСТЕМА УРАВНЕНИИ ГИДРОМЕХАНИКИ ИДЕАЛЬНОЙ НЕТЕПЛОПРОВОДНОИ ЖИДКОСТИ

1. Уравнение неразрывности сохраняет свой вид (I).

2. Уравнения движения сплошной среды — (II). Так как жидкость идеальна, то

При условии (1.1) уравнение (II) примет вид

или

В проекциях на оси координат

Уравнения (1.2) — уравнения движения идеальной жидкости — носят название уравнений Эйлера.

3. Уравнение энергии — (IV). Так как жидкость нетеплопроводна, то

В силу (1.1) и (1.3) уравнение энергии запишется в виде

(1.4)

К полученным уравнениям надо присоединить уравнение состояния и выражение для внутренней энергии Е через какие-либо две величины из трех (р, р, Т).

Таким образом, система уравнений гидромеханики для идеальной нетеплопроводной жидкости примет вид

Система (1.5) — система шести уравнений для отыскания шести искомых функций: . Пять уравнений — нелинейные уравнения в частных производных первого порядка, одно уравнение — конечное соотношение. Вид зависимости обычно известен. Массовые силы F считаются заданными функциями координат и времени. Объемное поглощение энергии обычно задается как функция р и Т, хотя иногда может зависеть и явным образом от координат и времени. Выпишем систему уравнений (1.5) более подробно:

Здесь .

Этой системе уравнений удовлетворяют все течения идеальной нетеплопроводной жидкости, как установившиеся, так и неустановившиеся, а также относящиеся к обтеканию жидкостью различных тел при разнообразных условиях.

Множество решений весьма широко. Надо научиться ставить условия, которые позволяли бы выбрать нужное решение, соответствующее условиям задачи.