§ 5. ПРОДОЛЬНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ. МЕТОД ИСТОЧНИКОВ И СТОКОВ

Рассмотрим продольное обтекание тела, полученного вращением кривой вокруг оси (рис. 41).

Идея метода источников и стоков состоит в замене рассматриваемого тела системой источников и стоков, расположенных на оси вращения. Причем одна из поверхностей тока для течения, образованного этой системой особенностей, должна совпадать с поверхностью тела вращения.

Другими словами, по заданному телу вращения требуется подобрать распределение источников и стоков.

Пусть источники (и стоки) распределены на оси z непрерывно с плотностью . Тогда суммарная обильность источников (и стоков), расположенных на отрезке равна . При малом можно считать, что в точке расположен точечный источник обильности Функция тока для течения от этого источника равна

Интегрируя (5.1), получаем функцию тока для течения, образованного непрерывно распределенными по оси z источниками с плотностью :

Наложим на этот поток поступательный поток со скоростью V, направленной вдоль оси z. Функция тока для поступательного потока

Поскольку уравнение для функции тока линейно, то для описания суммарного течения функции тока складываются:

Очевидно, что, выбирая разные , мы получим разные течения. Наша задача так выбрать , чтобы получить течение около рассматриваемого тела. Для этого, во-первых, учтем, что тело непроницаемо, и, во-вторых, что одна из поверхностей тока должна совпадать с поверхностью тела вращения.

Поскольку тело непроницаемо, должно быть выполнено условие

т. е. суммарная обильность источников (и стоков), расположенных внутри тела, должна быть равна нулю. При условии (5.5) из (5.4) имеем

Пусть — уравнение контура тела. На контуре так как контур тела — продолжение линии тока, которая до носика тела совпадала с осью z. Тогда можем записать

Мы получили уравнение для нахождения по известному . Это интегральное уравнение Фредгольма первого рода.

Одним из возможных приближенных способов решения этого уравнения является следующий. Отрезок АВ разбивается на интервалы, в каждом из которых выбирается точка и интеграл заменяется суммой Римана

где неизвестными являются значения в точках .

Заменим в (5.7) интеграл указанной суммой и потребуем, чтобы полученное уравнение выполнялось в точках каждая из которых принадлежит интервалу . Таким образом, получим систему линейных алгебраических уравнений для нахождения :