§ 2. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ОКОЛО ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНКИ

Пусть пластина обтекается потоком со скоростью V, направленной по оси х. Требуется найти течение в пограничном слое (рис. 57).

Рис. 57.

Берем уравнения теории пограничного слоя для случая установившегося движения

В этих уравнениях - известное давление в потоке идеальной жидкости на внешней границе пограничного слоя или (из-за тонкости пограничного слоя) известное давление на обтекаемом контуре в потоке идеальной жидкости.

Рассматриваемая нами пластинка не возмущает потока идеальной жидкости. Поэтому

Следовательно, нужно интегрировать уравнения

Из этих уравнений нужно найти . Искомые являются решением системы уравнений (2.2), удовлетворяющим краевым условиям

Условие на внешней границе пограничного слоя (при ) можно заменить условием при и при . Поэтому будем интегрировать уравнения (2.2) при условиях

Из первого уравнения (2.2) имеем

Подставляя (2.5) во второе уравнение (2.2), получаем

Вместо системы уравнений (2.2) можно интегрировать уравнение в частных производных третьего порядка (2.6).

Сформулируем граничные условия для уравнения (2.6). Эти условия должны содержать лишь функцию . Из равенства (2.5) следует, что для выполнения условия при должен обращаться в нуль числитель в (2.5) (предполагаем, что ). Но так как при то это означает, что

Таким образом, уравнение (2.6) нужно решать при следующих граничных условиях:

Прандтль заметил, что решение уравнения (2.6) можно искать в виде

Если положим

и условимся обозначать штрихом дифференцирование по то

Подставляя эти равенства в (2.6), получим для следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:

(2.11)

Для того чтобы в виде (2.9) было решением уравнения (2.6) при условиях (2.8), нужно найти решение обыкновенного дифференциального уравнения (2.11), удовлетворяющее условиям

Уравнение (2.11) не интегрируется в квадратурах, а применение численных методов более просто, когда условия поставлены на одном конце интервала.

Рис. 58.

Имея в виду решение задачи (2.11), (2.12), решим сначала вспомогательную задачу. Именно найдем сначала функцию являющуюся решением уравнения (2.11) и удовлетворяющую условиям

Задача (2.11), (2.13) есть задача Коши для уравнения (2.11) при начальных данных (2.13). Задачу Коши сравнительно легко решать численными методами. Можно показать, что решение задачи (2.11), - ограниченная функция, имеющая конечный предел на бесконечности. Функция фактически была построена. Считаем, что нам известна и, в частности, известна постоянная С такая, что

Имея построим функцию Пусть k — некоторая постоянная. Прямой подстановкой в уравнение (2.11) можно убедиться в том, что функция

являйся решением уравнения (2.11), если является его решением. Поэтому, имея мы одновременно имеем однопараметрическое семейство решений уравнения (2.11), зависящее от параметра k и определяемое формулой (2.15).

Подберем k так, чтобы функция определенная (2.15), была решением нужной нам задачи (2.11), (2.12). Уравнение (2.11) выполнено. Из условий (2.13), по которым строилась , функция при любом k удовлетворяет первому и второму из условий (2.12). Поэтому нужно выбрать k так, чтобы было выполнено третье из условий (2.12). Записывая его, имеем

или с учетом :

Следовательно,

есть решение поставленной задачи. В нем функция и константа С известны.

Предположим теперь, что решение (2.16) для полубесконечной пластины можно использовать для приближенного вычисления сопротивления пластины конечной длины l и ширины b (рис. 58). Очевидно,

Коэффициент 2 в (2.17) введен из-за того, что учитываем две стороны пластины. Имеем

С учетом (2.16) и (2.13) получим

Подставляя (2.19) в (2.17), найдем сопротивление пластины

ибо .

Вычислим теперь коэффициент сопротивления . По определению

Подставляя в (2.21) вместо его выражение (2.20) и учитывая, что в нашем случае , получим

где — число Рейнольдса.

Расчеты показывают, что . Таким образом,

При больших числах коэффициент сопротивления пластинки обратно пропорционален Формула (2.23) хорошо подтверждается экспериментом для чисел Рейнольдса . При больших значениях данные эксперимента сильно отличаются от значений, даваемых формулой (2.23). Граница условна, ее можно увеличить, если очень хорошо полировать пластину. Эксперименты показывают, что на некотором расстоянии от передней кромки ламинарный пограничный слой начинает переходить в турбулентный. Этот переход и приводит к нарушению картины, предписываемой формулой (2.23).

Вычислим теперь толщину пограничного слоя, положив в (1.21) величину . Имея для формулу (2.16), можем написать

Из последнего уравнения получаем

Формула (2.24) также дает возможность понять, почему формула (2.16) неверна при больших . Толщина пограничного слоя растет с ростом и при очень больших нарушаются предположения теории пограничного слоя. Формула (2.24) хорошо согласуется с экспериментом в ламинарной области.

Замечание. Часто используют местное число которое можно определить равенством . Тогда