§ 6. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ РАВНОВЕСИЯ ЖИДКОСТИ В КОНСЕРВАТИВНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ

Рассмотрим общий случай равновесия сжимаемой жидкости в консервативном силовом поле, когда система уравнений равновесия имеет вид (1.7) — (1.9). Так как поле массовых сил консервативно, т. е.

то система уравнений равновесия с учетом (6.1) примет вид

где

Необходимое условие для равновесия выполнено — силы консервативны. Можно ожидать, что задача имеет решение. Из уравнений (6.2) следует, что , т. е.

Используем результаты, изложенные в § 2, положив в приведенных там формулах . Тогда согласно (2.9)

и в соответствии с (6.6)

Таким образом, давление и плотность есть функции только V. Так как по предположению температура входит в уравнение состояния (6.4), то . Решив (6.4) относительно Т и учтя (6.7) и (6.8), получим, что температура также есть функция только V, т. е.

Очевидно, что на поверхностях равного потенциала давление, плотность и температура постоянны.

Решить задачу — значит найти вид зависимостей р, р, Т от V. Рассмотрим уравнение (6.3). Из (6.5) в силу (6.7) и (6.9) следует, что

Так как k и Т, входящие в (6.3), есть функции лишь V, то уравнение можно переписать в виде

Раскрывая производные от произведений, получаем

Используя обозначения и grad f, будем иметь

или

Левая часть -функция только V, следовательно, и правая часть должна зависеть только от V. Обозначим

Отсюда следует, что равновесие возможно, если потенциал массовых сил таков, что справедливо (6.14). Поле массовых сил известно, и если (6.14) выполнено, то — известная функция.

Чтобы установить, для каких потенциалов массовых сил выполнено равенство (6.14), введем вместо новую функцию согласно равенству

Функция не может быть выбрана произвольно. Посмотрим, какому условию она должна удовлетворять. Из равенства (6.14) следует

Уравнение (6.16) есть уравнение Лапласа для R(V):

Таким образом, равновесие жидкости в консервативном поле сил возможно, если некоторая функция является гармонической. Если предположить, что V — именно такой потенциал, то функция R(V) может быть найдена из соотношения (6.15). Имея это в виду, вернемся к уравнению (6.13), которое запишем в виде

Интегрируя один раз уравнение (6.18), имеем

Собирая вместе (6.4), (6.6), (6.19), получим систему уравнений равновесия

Таким образом, задача свелась к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Интегрируя систему дифференциальных уравнений, получим общее решение задачи о равновесии жидкости в консервативном поле сил

Для определения произвольных постоянных должны быть заданы условия. Условия могут быть различными:

например, на поверхности равного потенциала могут быть заданы р и Т, на поверхности задано Т, т. е.

Замечание. Все рассуждения сохранились бы и в случае, когда и уравнение состояния имеет вид . Вместо системы (6.20) получили бы несколько более общую систему

Пусть газ подчиняется закону Клапейрона: . Предположим, что (например, молекулярный вес m и коэффициент турбулентной теплопроводности k зависят от высоты). Система уравнений равновесия (6.23) с учетом уравнения состояния примет вид

Из (6.25) получим

Подставляя (6.27) в (6.24) и интегрируя полученное уравнение, будем иметь

Отсюда

Равенства (6.27), (6.29), (6.26) дают решение задачи.

Запишем полученное решение для случая, когда массовые силы — силы тяжести . Потенциал массовых сил удовлетворяет уравнению . Из (6.14) следует, что откуда .

Предполагая, что k и постоянны, из (6.27) получаем

Из (6.24) и (6.26) найдем и :

Постоянные находятся из условий на границе. Пусть эти условия имеют вид (6.22) и пусть на поверхности Земли Тогда для можно равенства (6.22) записать в виде . С учетом условий при получим известные барометрические формулы

Последние равенства дают ход изменения температуры, давления и плотности с изменением высоты в предположении, что k и m постоянны. Температура линейно зависит от высоты. Для земной атмосферы падение температуры на 1000 м примерно равно 6,5°.

Нетрудно выписать решение и для случая, когда массовые силы изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли.

1. Если рассматривать не очень большие расстояния от Земли, то можно как это обычно делают, приближенно принять поверхность Земли за плоскость и массовые силы направленными вертикально, т. е. положить , где а — радиус Земли, g — ускорение силы тяжести на ее поверхности . В этом случае потенциал массовых сил , откуда . Функция определяемая формулой (6.14), будет и уравнение (6.15) для запишется в виде .

Отсюда Выражение через z будет иметь вид т. е. - гармоническая функция. Подставляя в (6.27) и (6.29) и вычисляя интегралы, легко получим зависимость и от z. В частности, температура будет опять линейно зависеть от z:

2. Задачу о равновесии атмосферы вокруг Земли, когда массовые силы есть силы тяготения, можно рассмотреть и в более точной постановке, считая, что Земля — однородный шар и силы направлены к центру Земли. В этом случае, вводя сферические координаты будем иметь

Потенциал массовых сил удовлетворяет уравнению Лапласа и согласно (6.14) функция , откуда . В формулах (6.27) и (6.29), дающих решение задачи, следует, вообще говоря, при больших изменениях высот учитывать зависимость и k от V, т. е. от высоты. Если же, как и раньше, принять и k постоянными, то решение может быть сразу выписано. Для температуры оно имеет вид

где — температура при — температура при Если в выражении для Т обозначить через z, то получим

Примечание редактора

Из уравнений равновесия жидкости в консервативном силовом поле, как известно, следует, что между давлением р и плотностью р существует функциональная зависимость.

Жидкость, для которой р есть функция только р, обычно называют баротропной. При этом имеется в виду, что зависимость р от р заранее задана. Это позволяет при решении задач о движении баротропной жидкости ограничиться рассмотрением уравнения неразрывности и трех уравнений движения для нахождения четырех функций — , а при исследовании равновесия жидкости — рассмотрением трех уравнений (так как уравнение неразрывности удовлетворяется тождественно).

Жидкость, уравнение состояния которой имеет общий вид и относительно которой не делается никаких специальных предположений (об изотермичности или адиабатичности процессов и др.), называют бароклинной. При решении задач о движении бароклинной жидкости приходится привлекать уравнение энергии. Задача о равновесии жидкости, уравнение состояния которой имеет общий вид и относительно которой не делается никаких специальных предположений, также не может быть точно решена без использования уравнения энергии. Зависимость от в этом случае заранее неизвестна и для каждой задачи может быть найдена только после ее решения.

Решение задачи о равновесии жидкости в консервативном силовом поле, изложенное в § 6, получено С. В. Валландером и изложено в статье «Равновесие бароклинной теплопроводной жидкости в консервативном силовом поле» (Доклады АН СССР, 1974, т. 216, № 2).