§ 6. ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ МЕЖДУ ДВУМЯ ВРАЩАЮЩИМИСЯ СООСНЫМИ ЦИЛИНДРАМИ

Рассмотрим стационарное течение жидкости между двумя бесконечно длинными соосными круговыми цилиндрами радиусов при отсутствии массовых сил. Направим ось вдоль оси цилиндров, Предположим, что внутренний цилиндр врашается с угловой скоростью , а внешний — со скоростью .

Для решения задачи удобно ввести цилиндрические координаты и записать в этих координатах систему уравнений вязкой жидкости. Для этого надо найти выражения в этой системе координат. Естественно предполагать, что скорость направлена по касательной к окружности и зависит так же, как и давление, только от , т. е. . Полученная система уравнений применительно к рассматриваемой задаче, когда движение установившееся, принимает простой вид и позволяет сразу получить решение задачи в виде

Постоянные определяются из граничных условий. Однако для решения рассматриваемой задачи мы используем другой путь.

Чтобы найти зависимости запишем закон сохранения момента количества движения в слое (рис. 55). Пусть М — момент сил, действующих на этот слой. Поскольку течение плоское, вектор М направлен по оси . В силу стационарности движения имеем равенство . Очевидно, что , где — момент сил, действующих на внутренний цилиндр, — момент сил вязкого трения, приложенных к цилиндру радиуса . Величина этого вектора

Рис. 55.

Здесь — проекция на ось (т. е. на направление v) напряжения, действующего на площадку с нормалью . При наших предположениях оно зависит только от , поэтому

Таким образом, закон сохранения момента дает равенство

Пусть угол отсчитывается от оси у. Очевидно, что

Вектор С называют вектором аэродинамических коэффициентов. Соответственно вводят аэродинамические коэффициенты

Если считать, что направление невозмущенного потока остается неизменным по отношению к направлению вектора массовых сил (т. е. постоянны) и ориентация тела по отношению к потоку фиксирована (т. е. постоянны а и ), то для тела данной формы вектор С, а следовательно, и аэродинамические коэффициенты при любых скоростях и различных размерах тел зависят только от безразмерных параметров , т. е.

Если влиянием силы тяжести можно пренебречь, то коэффициенты для данного тела будут функциями только числа Рейнольдса:

Обычно принято вертикальную плоскость принимать за плоскость (х, у), считая направления скорости и оси х совпадающими. Тогда — соответственно коэффициенты сопротивления и подъемной силы, — коэффициент боковой силы.