ГЛАВА IV. ЗАКОН МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

Для механической системы закон момента количества движения формулировался так: производная по времени от полного момента количества движения некоторой системы равна главному моменту внешних сил, действующих на эту систему. Получим запись этого закона для случая движения сплошной среды.

§ 1. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ЗАПИСЬ ЗАКОНА МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

Рассмотрим массу сплошной среды пусть в данный момент она занимает объем , ограниченный поверхностью S. Эта масса обладает количеством движения К и моментом количества движения L. Элемент объема содержит массу количество движения которой равно . Момент количества движения этой массы относительно начала координат равен Этот момент связан с поступательным движением и часто называется орбитальным моментом. Для области

У большинства жидкостей полный момент количества движения совпадает с орбитальным.

Однако так бывает не всегда. Жидкость имеет молекулярное строение, и состояние жидкости связано с движением молекул и их взаимодействием. Столкновения молекул (атомов) между собой приводят к их вращению. Вращение каждой молекулы можно охарактеризовать вектором внутреннего момента количества движения. В обычных условиях в силу хаотичности движения сумма внутренних моментов количества движения равна нулю. В тех же случаях (например, при наличии магнитных или других сильных полей), когда распределение этих моментов не изотропное, суммарный внутренний момент оказывается отличным от нуля. В связи с этим при рассмотрении макроскопического движения частиц необходимо вводить вектор внутреннего момента. Полный момент количества движения частицы складывается из орбитального момента связанного с движением частицы, как целого, и внутреннего момента количества движения, представляющего собой суммарный момент вращений молекул. Обозначим через М внутренний момент количества движения, которым обладает единица массы жидкости . Масса будет обладать моментом . Для массы в объеме получим

Полный момент количества движения массы равен

Изменение полного момента количества движения связано с наличием моментов, порождаемых силовыми полями — полем массовых и поверхностных сил, наличием объемно-распределенных источников внутреннего момента и потока внутреннего момента через поверхность. Введем необходимые определения и запишем выражения для моментов внешних сил и внутренних моментов.

На элемент dx с массой действует сила Орбитальный момент этой силы . Главный орбитальный момент массовых сил равен

На элемент поверхности с нормалью действует поверхностная сила Главный орбитальный момент поверхностных сил

Пусть за время в объеме порождается момент , где — момент, отнесенный к единице массы и единице времени. Обозначая через приращение за то же время внутреннего момента в объеме , получим для выражение

Через элемент поверхности с нормалью в течение времени проникает момент . Здесь — плотность потока (проникновения) внутреннего момента. Обозначая через поток за время внутреннего момента через поверхность S, получаем

Производная по времени от полного момента количества движения L равна сумме перечисленных четырех моментов. Таким образом, Закон момента количества движения запишется в виде

или с учетом выражений (1.3) — (1.7)

Рассмотрим левую часть равенства (1.9). Воспользуемся формулой (15.7) гл. I, положив в ней , и преобразуем первое слагаемое (1.9):

Выпишем подынтегральное выражение

(1.11)

Будем предполагать, что в области, занятой жидкостью, нет источников массы . Тогда в силу уравнения неразрывности (2.6) гл. II второе слагаемое в правой части (1.11) обращается в нуль. Производная с учетом выражения (1.11) запишется в виде

Интеграл в (1.12) можно трактовать как момент сил инерции, взятый с обратным знаком. Аналогичные преобразования выражения для дадут

Таким образом, учитывая (1.3), (1.12) и (1.13), получаем

Закон момента количества движения (1.9) с учетом (1.14) можно переписать в виде

Преобразуем интегралы по поверхности к интегралам по объему. Воспользуемся формулой Коши для

Подставим (1.16) в (1.15) и сгруппируем некоторые слагаемые:

Второе слагаемое слева равно нулю в силу закона количества движения. Окончательно закон момента количества движения в интегральной форме запишется в виде