§ 9. ПОСТУЛАТ ЧАПЛЫГИНА — ЖУКОВСКОГО

Пусть в плоскости имеется профиль с одной угловой точкой, причем угол . Введем вспомогательную плоскость . Пусть функция отображает область плоскости вне круга радиуса R с контуром на внешность профиля (рис. 27).

Рассмотрим вопрос о вычислении скорости в угловой точке А. Точка А при отображении переходит в точку А окружности V. Комплексная скорость в точке А может быть представлена в виде

Функция преобразует угол в точке А в угол в точке А. Поэтому в окрестности точки конформность отображения нарушается н функция должна иметь разложение вида

Отсюда

Обратимся к равенству (9.1). В нем при второй множитель в силу (9.3) обращается в бесконечность. Если скорость не равна нулю, то скорость в угловой точке профиля

будет бесконечно велика, что физически недопустимо.

Рис. 27.

Требование, чтобы скорость в задней острой кромке была конечна, составляет содержание постулата Чаплыгина — Жуковского. Выполнение этого постулата возможно только в том случае, если скорость в точке А равна нулю, т. е. когда точка А является критической в потоке, обтекающем цилиндр. Положение точки А зависит от величины циркуляции.

Отсюда следует вторая формулировка постулата Чаплыгина — Жуковского: циркуляция при обтекании профиля с. острой кромкой А такова, что точка А окружности, в которую переходит при конформном отображении точка А, должна являться критической в потоке, обтекающем цилиндр.

В критической точке А сходятся струи потока, обтекающего цилиндр. Так как линии тока плоскости при отображении переходят в линии тока плоскости , то точка А профиля также должна быть точкой схода струй. На основании этого может быть дана и третья формулировка постулата. Циркуляция при обтекании контура с острой кромкой такова, что эта кромка является точкой схода струй.

Постулат Чаплыгина — Жуковского позволяет определить значение циркуляции Г. Для комплексного потенциала имеем формулу (7.9):

Комплексная скорость будет

Пусть поток, набегающий на профиль, наклонен под углом а к оси х, т. е.

Положим в . Тогда согласно постулату

Откуда

Учитывая (9.6) и полагая в , получим

Угол , где — угол, определяющий положение точки А на окружности I плоскости называется углом атаки. Циркуляция Г обращается в нуль, когда .

В формуле (9.9) все величины известны, если только известно конформное отображение профиля на круг. Если величина Г известна, то формула (7.9) для комплексного потенциала будет давать единственное решение задачи обтекания произвольного контура с одной угловой точкой. А тогда можно поставить вопрос о вычислении сил, действующих на профиль со стороны потока.

Замечание. Если контур гладкий или имеет угол или несколько угловых точек, то вопрос о циркуляции не может быть решен без привлечения дополнительных соображений.