§ 4. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ
Будем исходить из формулы Коши (3.7). Докажем, что таблица (3.8) является аффинным ортогональным тензором второго ранга. Для этого надо найти формулы преобразования 
при переходе от одной системы координат х, у, z к другой 
. Обозначим орты координатных осей соответственно через 
. Вспомним таблицу (7.1) гл. I для направляющих косинусов 
и будем пользоваться формулой Коши, выбирая за n последовательно 
. Получим
(4.1)
Рассмотрим одну из этих формул, например (4.1). Представим V через проекции 
на оси 
:
Соответственно 
— через проекции на оси 
:
Подставляя (4.4) и (4.5) в (4.1), получаем векторное равенство
Умножая последовательно (4,6) скалярно на 
, получим выражения для 
через составляющие таблицы Т в координатах 
. Выпишем одно из равенств (заметим, что 
):
Используя (4.2) и (4.3), получаем аналогичные выражения для остальных шести составляющих. Из равенства (4.7) видно, что составляющие таблицы Т при переходе от одной системы координат к другой преобразуются как компоненты аффинного ортогонального тензора второго ранга.
Тензор 
называется тензором напряжений.
Физический смысл компонент тензора напряжений очевиден. Возьмем вектор 
напряжение на площадку, перпендикулярную оси 
(рис. 8):
Здесь 
— нормальное напряжение; 
являющиеся проекциями вектора 
на оси координат у и z, есть напряжения, касательные к площадке.
Рис. 8.
Таким образом, диагональные компоненты тензора дают нормальные составляющие напряжений, боковые компоненты дают касательные составляющие напряжений, приложенных к площадкам, перпендикулярным осям координат.
