§ 2. ПРИМЕРЫ ОДНОМЕРНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Будем рассматривать безнапорное одномерное течение вязкой жидкости. В этом случае скорость 
удовлетворяет уравнению (1.15). Предположим, что жидкость заполняет все пространство и что 
зависит только от 
и 
. Тогда скорость 
должна быть найдена как решение уравнения
Легко проверить, что функция 
при любом а удовлетворяет уравнению (2.1). Это фундаментальное решение одномерного уравнения теплопроводности. Так как (2.1) — линейное однородное уравнение, то и сумма решений также будет решением этого уравнения.
Общее решение уравнения (2.1) определяется формулой
Введем в (2.2) новую переменную 
. Тогда равенство (2.2) приобретет следующий вид:
В частности (если F непрерывна и ограничена), при 
будем иметь
Следовательно, задавая в начальный момент распределение скорости
мы можем получить решение задачи (2.1), (2.4) по формуле (2.2) или (2.3).
Пример 1. Пусть в начальный момент в жидкости есть тангенциальный разрыв, т. е. при 
Такое распределение скоростей соответствует вихревому слою. Решение (2.3) позволяет проследить сглаживание разрыва скоростей (рассеивание вихревого слоя). Действительно, подставляя (2.5) в (2.3), получим
где 
Из формулы (2.6) видно, что при 
распределение 
ростей непрерывно, т. е. разрыв, который имел место при 
постепенно сглаживается. При 
и при любом 
скорость 
причем 
. Последняя формула определяет скорость затухания разрыва. При любом положительном 
.
Пример 2. Пусть над плоскостью 
находится неподвижная жидкость. При 
плоскость внезапно получает скорость 
вдоль оси х. Что будет происходить с жидкостью? Решение этой задачи легко построить из решения (2.6). Действительно, положим
Из предыдущего ясно, что функция (2.7) — решение уравнения (2.1) (поскольку 
и 
— решения этого уравнения).
. В момент 
скорость в точке с координатой 
была равна нулю. Затем скорость будет возрастать. Если 
и 
. Это означает, что плоскость постепенно увлекает за собой всю жидкость.
