§ 3. ОБТЕКАНИЕ СФЕРЫ

Рассмотрим сферу радиуса R, движущуюся со скоростью и вдоль оси z; вектор скорости набегающего потока V направлен по оси z.

Требуется найти потенциал скоростей , удовлетворяющий уравнению Лапласа

и граничным условиям на поверхности сферы

и на бесконечности

Записывая уравнения Лапласа в сферических координатах и учитывая, что течение осесимметрично и не зависит от , получаем для функции следующее уравнение:

Граничные условия (3.2), (3.3) можно записать в виде

или

(3.7)

Исходя из вида уравнения (3.4) и граничных условий (3.5), (3.7), решение будем искать в виде

Подставляя (3.8) в (3.4), приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению Эйлера для функции

Представив решение в виде , получим следующее уравнение для k:

корни которого . Поэтому

Постоянные определим из граничных условий. Из (3.10) имеем

Рис. 39.

Сопоставляя (3.11) и (3.6), видим, что . На поверхности шара

Сравнивая (3.12) и (3.5), получаем

Таким образом, потенциал скоростей имеет вид

Можно переписать эту формулу в виде

или

Очевидно, что первое слагаемое есть потенциал поступательного потока со скоростью V, а второе — потенциал диполя с моментом .

Таким образом, обтекание сферы может быть представлено в виде наложения двух таких течений. Если сфера неподвижна, то и

Если жидкость на бесконечности покоится, то V = 0 и

(3.17)

Изучим распределение скоростей на поверхности неподвижной сферы . Из (3.16) имеем

На поверхности сферы

Максимальное значение величины скорости на поверхности сферы равно , оно достигается в точках .

Напомним, что в случае обтекания бесконечного цилиндра потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости максимальное значение скорости на поверхности цилиндра равно 2V.

Из интеграла Бернулли

имеем

Из симметрии распределения давлений следует, что главный вектор всех сил давления равен нулю. В этом заключается парадокс Даламбера в случае обтекания сферы потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости.