§ 2. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ГИДРОМЕХАНИКИ ОДНОРОДНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Рассматриваем однородную несжимаемую жидкость. Для нее 
— уравнение состояния. Будем предполагать, что коэффициенты вязкости 
и теплопроводности k являются постоянными:
(2.1)
Так как 
и уравнение неразрывности принимает вид
Тензор напряжений в силу (2.2) будет
Рассмотрим уравнение движения (1.2). Запишем его проекцию на ось х и подставим вместо m выражения (2.3). учитывая при этом (2.1), получим
В силу (2.2) уравнение (2.4) примет вид
Аналогично запишутся два других уравнения — проекции на оси у и z. Вводя обозначения
перепишем уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости в виде
Уравнения (2.6) равносильны одному векторному уравнению
Уравнения (2.6) носят название уравнений Навье—Стокса.
Уравнение неразрывности (2.2) и уравнения Навье—Стокса (2.6) образуют систему четырех уравнений для отыскания 
и р, т. е. для несжимаемой вязкой жидкости при 
задача об отыскании поля скоростей и давлений может быть решена независимо от задачи отыскания поля температур. После того как функции v и р будут найдены из (2.2) и (2.6), можно искать температуру, решая уравнение энергии.
В отличие от уравнений Эйлера в уравнения Навье—Стокса входят производные второго порядка. Это должно отразиться на постановке граничных условий.
Если же 
, то уравнения Навье—Стокса переходят в уравнения Эйлера.
Обратимся к уравнению энергии (1.3). Подставим выражения (2.3) для тензора напряжений в группу слагаемых, входящих в уравнение энергии:
В силу 
. Через Ф обозначена сумма
Используя закон теплопроводности Фурье (1.5) и предположение, что 
, получаем
Учитывая (2.7) и (2.9), перепишем уравнение энергии (1.3) в виде
Для несжимаемой жидкости 
, где с — теплоемкость, и уравнение энергии примет вид
Если система уравнений (2.2), (2.6) проинтегрирована, т. е. v и р — известные функции, то уравнение (2.11) есть дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка для отыскания температуры Т. Входящая в (2.11) функция Ф неотрицательна и обращается в нуль только в случае, когда жидкость покоится или движется как абсолютно твердое тело. Для идеальной жидкости 
, так как 
. Функция Ф называется диссипативной функцией.
Если среда неподвижна, т. е. 
, то уравнение (2.11) принимает вид известного уравнения теплопроводности
Если коэффициент k нельзя считать постоянным, т. е. 
, то уравнение запишется в виде
Итак, уравнения (2.2), (2.6), (2.11) образуют систему уравнений вязкой несжимаемой жидкости
Функция Ф имеет вид (2.8). Система (2.12) содержит пять уравнений для отыскания пяти функций: 
.
