ЧАСТЬ III. ГИДРОМЕХАНИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

Будем предполагать, что жидкость идеальна, нетеплопроводна и объемные источники тепла отсутствуют. Это означает, что

Система уравнений гидромеханики идеальной нетеплопроводной жидкости была получена в главе VII (формулы ). В этих уравнениях теперь следует положить

ГЛАВА X. ИНТЕГРАЛЫ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ ГИДРОМЕХАНИКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

При определенных условиях некоторые из уравнений системы могут быть проинтегрированы. Эти условия имеют достаточно общий характер и оказываются выполненными во многих разных по характеру задачах. Полученные соотношения — интегралы системы уравнений — часто бывает более удобно использовать при исследовании задач, чем исходные уравнения.

§ 1. АДИАБАТА

Движение жидкости называется адиабатическим, если жидкость не приобретает тепла извне и не отдает его. Предположения, принятые в этом разделе , означают, что мы рассматриваем адиабатические движения.

Выпишем уравнение неразрывности и уравнение энергии

Найдя из (1.1) и подставив ее в (1.2), получим

Внутренняя энергия с учетом уравнения состояния может быть представлена как функция и . Принимая это во внимание, можем переписать (1.3) в виде

или

Отсюда

Правая часть - известная функция и , обозначим ее через :

Уравнение -обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно связывает изменение давления с изменением плотности в движущейся частице, поскольку уравнение (1.5) получено из уравнения (1.4), в которое входили полные производные и . Проинтегрировав (1.5), получим

Здесь С — постоянная интегрирования, сохраняющая свое значение для движущейся частицы. При переходе от одной частицы к другой значение С может изменяться. Если бы движение рассматривалось в переменных Лагранжа (a, b,c,t), то можно было бы записать С = С (а, b, с).

Равенство (1.6) означает, что плотность в движущейся частице является функцией одного только давления:

т. е. имеется баротропность для частиц. Интеграл (1.6) называется адиабатой.

Возможны случаи, когда постоянная С, входящая в (1.6), постоянна для некоторой совокупности частиц.

Так, для установившегося движения С имеет постоянное значение на линии тока. Действительно, при установившемся движении траектории и линии тока совпадают. Возьмем точку М на линии тока, в ней постоянны давление и плотность рм-Для любой частицы, прошедшей через эту точку, можно записать Для частиц, движущихся вдоль линии тока, проходящей через точку М, будет справедливо равенство . Таким образом, для установившегося течения имеется баротропность на линии тока. Встречаются случаи движения, когда постоянная С одинакова для всех частиц жидкости, т. е. имеется баротропность во всем пространстве, занятом жидкостью.

Пример. Адиабата Пуассона. Рассмотрим газ, подчиняющийся уравнению Клапейрона

Пусть — теплоемкость газа при постоянном объеме и постоянном давлении; предполагается, что они постоянны. В этом случае внутренняя энергия

Учтем известное соотношение выразив Т из (1.7) через и , подставим Т в (1.8):

Отношение называют показателем адиабаты. Уравнение (1.5) при таком выражении для Е примет вид

Интегрируя последнее уравнение, получаем соотношение, которое называют адиабатой Пуассона:

Соотношение (1.11) имеет место в частице. Постоянная С может изменяться от частицы к частице. При установившемся движении С (т. е. ) постоянна на линии тока.

Замечание. Предположение о постоянстве при котором получено соотношение (1.11), справедливо в определенном диапазоне температур, зависящем от физических свойств газа. Величина показателя адиабаты зависит от структуры молекул, составляющих газ: для одноатомных газов и для двухатомных, когда энергию колебательного движения молекул практически можно не учитывать и т.д.