§ 17. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ПЛОСКИХ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ДВИЖЕНИЯХ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Ранее говорилось о том, что для безвихревых течений существует потенциал скорости , а для несжимаемой жидкости — функция тока . Из определения этих функций следуют условия Коши — Римана

которые в свою очередь эквивалентны уравнениям

Таким образом, возможны три формулировки задачи — об отыскании потенциала (для этой функции справедливо уравнение ); об отыскании функции тока (из уравнения ); об отыскании комплексного потенциала (она была сформулирована и решена для обтекания ряда контуров в настоящей главе).

Все три задачи эквивалентны друг другу. Например, если известна функция , то с точностью до константы можно найти и, следовательно, . Но формулировки задач различны.

Пусть решается задача для . Имеем уравнение (17.2), условия на бесконечности

условия на поверхности обтекаемого тела

и условие конечности производных в острой кромке. Для мы имеем внешнюю задачу Неймана.

Если решается задача для имеем уравнение (17.3), условия на бесконечности

условия на обтекаемом контуре

(может быть, С = 0) и конечность в острой кромке.

Для имеем внешнюю задачу Дирихле.

Ту же плоскую задачу можно формулировать как задачу об отыскании исходя из того, что или что : найти комплексную функцию w(z) такую, что ее действительная часть удовлетворяет всем граничным условиям для , найти w(z) такую, что ее мнимая часть удовлетворяет граничным условиям для .