ГЛАВА XVII. ТЕОРИЯ КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА

В случае обтекания крыла бесконечного размаха задача сводилась к изучению плоского движения — обтеканию профилен. При рассмотрении обтекания профилей был установлен постулат Чаплыгина — Жуковского и получена формула для подъемной силы. Теперь нужно построить теорию обтекания крыла конечного размаха.

§ 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОБ ОБТЕКАНИИ КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА С ЗАДНЕЙ ОСТРОЙ КРОМКОЙ. ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА

Пусть на крыло конечного размаха набегает установившийся езвихревой поток идеальной несжимаемой жидкости. Массовые силы будем предполагать отсутствующими.

Так как поток безвихревой, то существует потенциал скоростей и задача сводится к отысканию функции , удовлетворяющей уравнению Лапласа

в граничным условиям на поверхности крыла

и на бесконечности (принимая, что ось х параллельна )

Если при этом, как и в случае плоской задачи, потребовать непрерывности скоростей во всем внешнем по отношению к крылу пространстве, то такая задача будет иметь единственное решение. Вычислив главный вектор сил давления, действующих на крыло, получим, что F = 0 — парадокс Даламбера.

Если задняя кромка крыла острая, то окажется, что полученное решение дает в этой кромке бесконечно большие значения для некоторых компонент скорости, т. е. постулат Чаплыгина — Жуковского в течении, соответствующем полученному решению задачи, не выполнен. В этом решении нет произвольного параметра, который входил в решение для плоской задачи (там этим параметром была циркуляция Г).

Таким образом, сделанные предположения не обеспечивают возможности выполнения постулата Чаплыгина — Жуковского. Нужно отказаться от некоторых из них.

Предполагая, как и раньше, что движение идеальной жидкости установившееся и потенциальное, не будем требовать, чтобы всюду вне крыла были непрерывны. Поскольку мы хотим сохранить постулат, т. е. чтобы жидкость, обтекая крыло конечного размаха, покидала его в задней острой кромке, и так как ниоткуда не следует, что скорости частиц жидкости, сходящие с верхней и нижней сторон крыла, одинаковы, то естественно допустить, что в жидкости имеется поверхность , проходящая через заднюю острую кромку, на которой пет непрерывности скоростей. Так как движение установившееся, то эта поверхность должна быть неподвижна в пространстве. В точках этой поверхности с верхней и нижней сторон должны быть выполнены условия непрерывности давления и нормальной составляющей скорости, т. е.

При отсутствии массовых сил из интеграла Бернулли следует, что квадрат скорости, а следовательно, и величина скорости непрерывны при переходе через . Но , где нормальная, — касательная составляющие скорости. Так как функция непрерывна при переходе через , то непрерывна и , а тогда и абсолютная величина . Но сама касательная составляющая может терпеть разрыв, при этом при стационарном движении разрыв испытывает только — поперечная составляющая .

Поверхность, на которой терпит разрыв касательная составляющая скорости, может быть интерпретирована как вихревой слой. Заметим, что поверхность , вообще говоря, неизвестна и должна быть найдена в процессе решения задачи.

Таким образом, задача сводится к отысканию функции удовлетворяющей уравнению Лапласа (1.1), граничным условиям (1.2) на поверхности крыла S, условиям (1.4) на неизвестной поверхности разрыва (эти условия нелинейные, так как давление выражается через и условиям на бесконечности. Условия на бесконечности теперь следует формулировать несколько иначе, а именно: бесконечно далеко от S и .

Основные предположения, которые лежат в основе теории, излагаемой в этой главе, следующие:

1) рассматриваемое крыло тонкое,

2) крыло имеет большое удлинение,

3) применима гипотеза плоских сечений,

4) справедлива схема жидкого крыла.

Выберем оси координат так, чтобы ось х была параллельна скорости невозмущеннсго потока, ось z направлена по размаху крыла. Начало координат поместим в середине размаха крыла.

1) Первое предположение означает, что профиль, полученный в сечении крыла плоскостью , тонкий и хорда профиля образует малый угол с направлением скорости (угол атаки а мал).

2) Для крыла произвольной формы в плане за удлинение принимают отношение где L — размах крыла, S — его площадь в плане. Для прямоугольного крыла , где b — хорда профиля и удлинение - отношение размаха к хорде. По второму предположению К велико (практически достаточно брать ), т. е. крыло длинное и узкое.

3) Гипотеза плоских сечений, оправданием которой служит второе предположение, позволяет в плоскости скорости и давления

построить так же, как в случае крыла бесконечного размаха.

4) Гипотеза о справедливости схемы жидкого крыла предполагает возможность подобрать такую систему особенностей, которая может заменить действие твердого непроницаемого крыла На поток и вызвать такое же движение жидкости, которое вызывалось действием крыла.