§ 3. ИНДИВИДУАЛЬНАЯ И МЕСТНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ

Индивидуальная производная. Пусть А — некоторая гидродинамическая величина (векторная или скалярная). Для выделенной жидкой частицы эта величина будет зависеть только от времени: А = A(t). Изменение величины А в предположении, что эта величина относится к фиксированной частице, характеризуется производной от А по времени, которая называется индивидуальной производной.

Обозначим эту производную . Рассмотрим, как вычисляется в переменных Эйлера и в переменных Лагранжа.

а) Пусть А — функция переменных Эйлера. Для фиксированной частицы координаты в соответствии с законом ее движения будут функциями времени

Поэтому

Но (3.1) есть уравнения движения частицы, следовательно,

Отсюда

Часто для индивидуальной производной в переменных Эйлера используются обозначения . В дальнейшем мы примем обозначение . Таким образом,

б) Пусть А — функция переменных Лагранжа: . Для выделенной частицы аргументы а, b, с фиксированы, изменяется только время. Поэтому

Местная производная. Пусть в пространстве зафиксирована некоторая точка. Через эту точку в разные моменты времени будут проходить разные частицы. Каждой из них соответствует некоторая гидродинамическая величина А. В фиксированной точке пространства

Изменение величины А в фиксированной точке пространства характеризуется производной А по времени, которая называется местной (локальной) производной по времени

а) Пусть А — функция переменных Эйлера, т. е. . Так как х, у, z фиксированы, то местная производная есть частная производная

б) Пусть А — функция переменных Лагранжа: . В разные моменты времени через фиксированную точку М пространства проходят разные частицы с разными значениями а, b, с. Но так как в каждый момент времени в точке М оказывается одна частица, то можно записать

Таким образом, для фиксированной точки пространства

и

Эта формула приобретает значение, если известны производные . Вычислим их. Так как движение задано в переменных Лагранжа, то известна связь (1.1). Дифференцируя по t обе части (1.1) и учитывая, что х, у, z фиксированы, получим

Система -система трех линейных уравнений относительна производных . Якобиан системы не равен нулю. Решая систему (3.11) относительно и подставляя эти решения в (3.10), приходим к формуле для местной производной