§ 5. РАВНОВЕСИЕ БАРОТРОПНОИ ЖИДКОСТИ

Введем определение: жидкость называется баротропной, если ее плотность есть функция только давления

В противном случае жидкость называется бароклинной. Предположим, что жидкость баротропна, и выпишем уравнения равновесия (2.1), учитывая (5.1):

Введем в рассмотрение функцию

Для справедливы равенства

Система (5.2) с учетом (5.4) примет вид

Из (5.5) следует, что массовые силы F должны быть потенциальны, т. е. равновесие возможно, если поле массовых сил консервативно. Пусть

где V — потенциал массовых сил. Из (5.5) и (5.6) следует

Интегрируя (5.7), получим

Постоянная С находится из условия Определив р и подставив его в (5.1), получим р. Давление и плотность постоянны на поверхностях .

Замечание. Если жидкость находится при постоянной температуре (изотермична) , то уравнение равновесия для температуры удовлетворяется тождественно, а уравнение состояния принимает вид

т. е. плотность есть функция только давления — жидкость баротропна.

Пример 1. Рассмотрим равновесие жидкости при отсутствии массовых сил, т. е. . В этом случае (см. (1.7)) .

Пример 2. Рассмотрим газ, подчиняющийся уравнению Клапейрона, при изотермическом равновесии

Отсюда

Подставляя в (5.8) и учитывая, что получим Если массовые силы — силы тяжести, то и

Давление убывает с высотой как .