§ 12. ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО

Рассмотрим обтекание некоторого профиля I безвихревым потоком идеальной несжимаемой жидкости. Этому обтеканию отвечает комплексный потенциал

Вычислим комплексную силу R по первой формуле Чаплыгина — Блазиуса:

За контур интегрирования возьмем окружность С с центром в начале координат, охватывающую контур I. Вне этой окружности и на ней комплексная скорость может быть разложена в ряд. Лорана:

Найдем коэффициенты этого ряда . Полагая находим

Рассмотрим криволинейный интеграл от комплексной скорости. Так как вне I ограничена и не имеет особенностей во всей внешней относительно l части плоскости z, включая и точку то для вычисления криволинейного интеграла достаточно найти вычет подынтегральной функции в бесконечно удаленной точке. По теореме о вычетах, используя ряд (12.2), получаем

Согласно (11.5) имеем

Так как профиль предполагается непроницаемым и в потоке нет источников, то Отсюда

Подставляя полученные выражения для в (12.2), имеем

Чтобы воспользоваться формулой (12.1), вычислим

По теореме о вычетах Для комплексной силы R получаем формулу

где

Если воспользоваться (12.5) и перейти к комплексно-сопряженным величинам R и то придем к формуле (теореме) Жуковского

здесь

(12.8)

Теорема Жуковского. Главный вектор сил давлений, действующих на профиль, численно равен произведению плотности и абсолютных величин скорости и циркуляции и имеет направление, получаемое путем поворота вектора скорости на угол в сторону, противоположную циркуляции.

Таким образом, для величины силы Жуковского имеем формулу

Существенно, что главный вектор сил перпендикулярен направлению скорости на бесконечности. Силу, перпендикулярную скорости называют подъемной силой; силу в направлении потока — лобовым сопротивлением.

Из теоремы Жуковского следует, что при плоском потенциальном обтекании возникает только подъемная сила. Подъемная сила возможна только при наличии циркуляции. Для циркуляции мы имеем формулу (9.9). Подставляя выражение для Г в (12.9) (радиус круга обозначаем К), получаем

Так как обычно ось направляют вдоль скорости v, то подъемную силу обозначают через силу сопротивления через . В реальном обтекании возникает как подъемная сила, так и сила сопротивления. Принято вместо исследовать так называемые коэффициенты сопротивления

Здесь S — площадь характерного сечения обтекаемого тела. Для идеальной жидкости ( — парадокс Даламбера).

Чтобы иметь возможность теоретически вычислить сопротивление, надо отказаться либо от предположения о потенциальности течения, либо от безотрывности обтекания, либо предполагать жидкость вязкой.

При безотрывном обтекании крыльев формула для , где вычисляется по формуле Жуковского, хорошо подтверждается экспериментом.