§ 3. ЗАВИХРЕННОСТЬ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Будем исходить из системы уравнений для вязкой несжимаемой жидкости (1.1), (1.2). Покажем, что любое решение задачи о потенциальном движении идеальной жидкости является точным решением системы уравнений (1.1), (1.2).

Действительно, если движение вязкой жидкости безвихревое, то

В силу уравнения неразрывности имеем

Отсюда следует, что

Но при наличии (3.3) уравнения Навье — Стокса (1.1) совпадают с уравнениями Эйлера (2.1), т. е. решения уравнений Эйлера при предположении (3.1) являются и решениями уравнений Навье — Стокса.

Рассмотрим задачу об обтекании неподвижного тела установившимся потоком вязкой жидкости. Решение такой задачи должно удовлетворять уравнениям (1.1), (1.2) и граничным условиям (1.6).

Нельзя ли найти решение этой задачи в классе потенциальных (безвихревых) течений? Такое решение (если оно существует) должно удовлетворять уравнению (3.2) и граничным условиям (1.6). Но, как было показано ранее, решение уравнения (3.2) определяется с точностью до циркуляции при следующих условиях:

При этом касательная составляющая скорости их на поверхности тела будет отлична от нуля, т. е. .

Это означает, что потенциальный поток в случае вязкой жидкости не удовлетворяет в точках соприкосновения с твердой стенкой условию прилипания , т. е. класс потенциальных течений не может быть использован для решения задач об обтекании тел вязкой несжимаемой жидкостью.

Течения вязкой жидкости в этом случае вихревые. Это второе принципиальное отличие движения вязкой жидкости от движения идеальной жидкости.