Так как мы предполагаем, что в жидкости нет источников, то 
всюду. Поэтому
Пусть 
— сечение трубки, l — средняя линия трубки, 
— единичный вектор касательной к средней линии. Полагая вихрь скорости 
постоянным в каждом сечении трубки, для элемента вихревой трубки длины 
можно записать 
. Тогда
Устремляя а к нулю (при этом 
), но так, чтобы произведение 
оставалось постоянным, получаем вихревую нить с интенсивностью 
. По теореме Гельмгольца интенсивность Г постоянна вдоль l, поэтому, переходя к пределу, получаем
Проекции скорости v на координатные оси определяются по формулам
Вектор t не зависит от координат х, у, z. Выполняя дифференцирование под знаком интеграла и учитывая, что 
, где 
, получаем
В скобках под знаком интегралов в (7.4) стоят компоненты векторного произведения двух векторов t и 
.
Поэтому формулы (7.4) для скорости, индуцируемой в пространстве вихревой нитью, можно записать в виде
Очевидно, что элемент вихревой нити 
порождает в точке 
скорость 
:
с численным значением 
Здесь а — угол между векторами t и r (рис. 46).
Формулы (7.5) и (7.6) аналогичны формулам Био — Савара в электродинамике.
Рис. 46.
Рис. 47.
. Поле скоростей, индуцируемое такой вихревой трубкой, определяется формулой (6.20). В нашем случае 
вне области 
.
