§ 3. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ В ПЕРЕМЕННЫХ ЛАГРАНЖА

Исходим из интегральной записи закона сохранения масс (1.9). От переменных x, у, z перейдем к переменным Лагранжа а, b, с, которые определяют положение частиц в момент времени в соответствующем объеме .

Тогда (1.9) перепишется в виде

Объем то не зависит от времени. Производную можно внести под знак интеграла. В переменных Лагранжа индивидуальная производная вычисляется как частная производная, поэтому равенство (3.1) можно записать в виде

Из (3.2) в силу произвольности объема то будет следовать, что

или

Уравнение -уравнение неразрывности в переменных Лагранжа в общем случае при наличии источников. Если , то

Равенство (3.5) означает, что величина в квадратных скобках не зависит от лагранжевой переменной t, т. е.

Равенство (3.6) — уравнение неразрывности в переменных Лагранжа при . Величины, стоящие слева в уравнении (3.6), вычислены в момент t, справа — в любой другой момент времени t. Если за момент t взять момент времени когда , т. е. когда декартовы координаты совпадают с координатами Лагранжа, то уравнение (3.6) запишется в виде

или подробнее

Здесь х, у, z — функции координат Лагранжа а, b, с, — плотность, вычисленная в момент .

Если жидкость несжимаема, то , и уравнение неразрывности, как следует из (3.6) и (3.7), может быть записано в виде

То, что якобиан сохраняет постоянное значение, равное единице, означает, что объем не изменяется по величине, хотя и может деформироваться.

В случае плоского движения, принимая плоскость движения за плоскость (х, у), можем написать

При этом

и уравнение неразрывности запишется в виде

В случае одномерного движения, когда , уравнение неразрывности будет иметь вид

Укажем на связь между уравнениями неразрывности, записанными в переменных Эйлера и в переменных Лагранжа.

Уравнение неразрывности (3.7) в переменных Лагранжа умножим на . Получим

Здесь — элемент объема, в который в момент времени t переходит элемент объема . Последнее равенство можно переписать так:

Отсюда . Но ранее было показано, что

Таким образом, получаем уравнение неразрывности в переменных Эйлера.