§ 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ОБТЕКАНИИ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ МЕТОДОМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
Будем искать комплексный потенциал обтекания w(z) в виде (1.6).
Комплексная скорость возмущенного потока 
. Очевидно, что на бесконечности выполнено условие
Задача состоит в нахождении функции 
, удовлетворяющей условию (2.1) на бесконечности, условиям обтекания и постулату Чаплыгина — Жуковского. Условия обтекания, записанные для функции тока, имеют вид (1.12), а для компоненты скорости 
. Как было показано в § 1, эти условия записываются на верхнем и нижнем берегах разреза 
.
Перейдем от комплексного переменного 
к комплексному переменному используя преобразование Жуковского
Это преобразование переводит внешность единичного круга в плоскости 
во внешность разреза 
в плоскости 
. Положим
Будем искать функцию 
определенную во внешности единичного круга в плоскости удовлетворяющую условию на бесконечности
и соответствующему условию на окружности единичного радиуса. Запишем это условие. Положим 
и введем функции 
такие, что
Условия обтекания для функции тока возмущенного течения 
записываются на разрезе 
Этому соответствует задание значений функции 
на окружности 
Учитывая, что 
, получаем условие для 
на окружности 
в виде
Введем функцию
Тогда
Функцию 
заданную во внешности круга 
и удовлетворяющую условиям (2.4) и (2.6), будем искать в виде
где 
Из (2.9) получим
На окружности 
будем иметь
Сопоставляя (2.8) и (2.11), получаем
Разложим функцию 
в ряд Фурье:
и подставим этот ряд в (2.12). Тогда получим
Из последнего уравнения найдем коэффициенты 
Для определения Г воспользуемся постулатом Чаплыгина — Жуковского, согласно которому скорость в задней кромке профиля (z = а) должна быть конечной, и, следовательно, в этой точке должна быть конечной производная 
. В силу того, что
в задней кромке, которой соответствует 
должно быть выполнено условие
Воспользуемся формулой (2.10) для 
и запишем значения производной 
на окружности 
Отсюда, учитывая (2.13), находим оставшуюся до сих пор не определенной циркуляцию Г:
Таким образом, оказываются известными все коэффициенты, входящие в разложение (2.9), для функции 
Рис. 35.
Замечание. Тригонометрические ряды в ряде случаев можно просуммировать и получить решение в замкнутом виде. Однако решение в замкнутом виде, как показано ниже, можно получить и сразу.
