§ 14. СКОРОСТЬ ОБЪЕМНОГО РАСШИРЕНИЯ ЖИДКОСТИ

Рассмотрим в момент t некоторую массу жидкости в объеме , ограниченном поверхностью S. В момент та же масса жидкости будет занимать объем , ограниченный поверхностью S. Скоростью объемного расширения жидкости в данной точке называется предел

Рис. 4.

Величина есть относительное приращение объема в единицу времени. Вычислим величину определяемую формулой (14.1). Имеем

Так как мало, то объем представляет собой тонкий слой между поверхностями S и . Тогда элемент объема можно взять в виде (рис. 4)

где — расстояние по нормали между поверхностью S и поверхностью S, в которую перешли точки поверхности S за время — проекция скорости точек поверхности S на внешнюю нормаль к ней. Теперь можем записать в виде . Отсюда

(отсутствует страница)

в различных точках. Интеграл есть функция времени Нас будет интересовать величина

Получим выражение для производной — в переменных Эйлера и в переменных Лагранжа.

1. Вычисление в переменных Эйлера. Рассмотрим два близких момента времени t и . Для момента времени t сохраним введенные обозначения: . Значения всех функций в момент будем отмечать штрихами. Таким образом,

При малых можем записать

Подынтегральная функция вычисляется в точках, принадлежащих объему но А вычисляется в момент t, а А — в момент . С точностью до малых более высокого порядка

Учитывая это, приходим к равенству

Преобразуем второе слагаемое в (15.4) так, как это уже делали в § 14.

Элемент объема выберем в виде . Тогда

Равенство (15.4) можно теперь записать в виде

Разделим обе части на и устремим к нулю. При этом перейдет в , и мы получим

Как обычно, преобразуем интеграл по поверхности к интегралу по объему:

Таким образом, для производной получим выражение

Подынтегральное выражение можно преобразовать к другому виду, раскрывая производные от произведений:

Соответственно равенство (15.6) примет вид

2. Вычисление в переменных Лагранжа.

Рассмотрим объем выделенной массы жидкости в момент t. Координаты частиц этого объема можно записать в виде

где а, b, с — координаты этих частиц в момент времени когда декартовы координаты совпадали с координатами Лагранжа а объем занимал объем интеграле (15.1), который нужно дифференцировать, перейдем от переменных х, у, z к переменным Лагранжа. Тогда

Но в этом случае объем интегрирования то постоянен для всех моментов времени, и можно дифференцировать под знаком интеграла. Таким образом,

Сделаем переход в правой части равенства от переменных а, b, с к переменным х, у, z, учитывая при этом, что

Тогда получим