§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ЗАПИСЬ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ МАСС В ПЕРЕМЕННЫХ ЭЙЛЕРА (УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ В ПЕРЕМЕННЫХ ЭЙЛЕРА)

Исходим из записи закона сохранения масс для конечного объема (1.9). Для выполнения дифференцирования воспользуемся полученной ранее формулой (15.6) гл. I, положив в ней :

Подставляя (2.1) в (1.9), получим

Равенство (2.2) имеет место для любого объема . Это возможно только в том случае, когда подынтегральная функция равна нулю. Таким образом, из (2.2) следует, что

Раскрывая в (2.3) производные от произведений и вводя обозначение индивидуальной производной , получаем

Равенство (2.3) есть дифференциальная форма записи закона сохранения массы в переменных Эйлера при наличии пространственно-распределенных источников с плотностью q.

Пусть жидкость несжимаема. Это означает, что плотность в движущейся частице не изменяется, т. е. индивидуальная производная от плотности по времени равна нулю. В переменных

Эйлера это записывается в виде . Уравнение неразрывности (2.3) в случае несжимаемой жидкости примет вид

В дальнейшем чаще всего будут рассматриваться потоки, не содержащие источников.

Остановимся на рассмотрении уравнения неразрывности в случае, когда Уравнение неразрывности (2.3) в общем случае запишется в виде

Вводя вектор с проекциями , можно уравнение (2.5) переписать в виде

Из (2.3') получаем наиболее часто употребляемую запись уравнения неразрывности

(2.6)

Рассмотрим запись уравнения неразрывности для частных случаев.

1. Движение установившееся.

В этом случае местная производная должна быть равна нулю, т. е. . Уравнение неразрывности для установившегося движения

2. Жидкость несжимаема.

В этом случае . Из (2.6) следует

3. Движение плоское.

Движение называют плоским, если существует такая плоскость, что все частицы жидкости движутся параллельно этой плоскости, причем на любой прямой, перпендикулярной этой плоскости, гидродинамические величины имеют одно и то же значение. Принимая эту плоскость за плоскость {х,у), получим, что , а все гидродинамические величины будут зависеть только от х, у, t, и, следовательно, производные по z будут равны нулю.

Уравнение неразрывности для плоского движения

Если при этом движение установившееся, то

Для несжимаемой жидкости

4. Одномерное движение с плоской симметрией.

Рассмотрим движение, при котором все частицы движутся параллельно некоторой прямой, причем все гидродинамические величины в каждой плоскости, перпендикулярной этой прямой, постоянны. Если эту прямую принять за ось х, то при таком выборе системы координат . Уравнение неразрывности в этом случае будет иметь вид

Кроме движения с так называемой плоской симметрией рассматривают и другие одномерные движения — с осевой симметрией, со сферической симметрией (например, точечный взрыв).