§ 9. ТЕНЗОР СКОРОСТЕЙ ДЕФОРМАЦИЙ И ЕГО ИНВАРИАНТЫ
Таблица (8.17) определяет аффинный ортогональный тензор второго ранга. Действительно, вектор v — тензор первого ранга.
Совокупность величин определяет тензор второго ранга 
. Его всегда можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров. Тензор 
есть симметричная часть тензора 
.
Доказательство тензорного характера величин 
можно провести и непосредственно. Имеем равенство (8.13); в нем 
— векторы, 
— произведение псевдовектора 
на вектор р — также вектор. Следовательно, 
также вектор.
Рассмотрим скалярное произведение 
. Это произведение — скаляр, инвариант (проекция 
на р, не зависит от системы координат). Для скалярного произведения, так как 
, имеем
Но 
- однородная функция второй степени; по теореме Эйлера об однородных функциях можем 
. Таким образом, F — инвариант, не зависящий от системы координат.
Рассмотрим две системы координат. Пусть 
— старые координаты, 
— новые. Так как 
, то, имея в виду (8.10), можем написать
Выразим старые координаты через новые:
и подставим (9.3) в правую часть (9.2):
Приравнивая коэффициенты, получаем
Формула 
-формула преобразования компонент тензора второго ранга при переходе от одной системы координат к другой. Следовательно, таблица 
есть аффинный ортогональный тензор второго ранга — тензор скоростей деформаций.
С тензором скоростей деформаций связана квадратичная форма F, имеющая вид (8.10). Всегда можно ввести такие координаты 
в которых квадратичная форма примет вид
В этих координатах тензор скоростей деформаций будет
Оси, в которых тензор 
имеет вид (9.7), называются главными осями тензора скоростей деформаций (это главные оси квадратичной формы F). Величины 
, которые входят а (9.7), называют главными скоростями деформаций. Известно, что 
являются корнями кубического уравнения
Корни этого уравнения всегда вещественны. Вещественность корней уравнения (9.8) следует из симметричности матрицы 
. Запишем уравнение (9.8) в виде
Поскольку главные скорости деформации 
— инварианты, инвариантами должны быть и коэффициенты уравнения (9.9). Эти коэффиценты 
называют соответственно линейным, квадратичным и кубичным инвариантами тензора скоростей деформаций. Наиболее простой вид имеет линейный инвариант 
. Это просто свертка тензора
Коэффициенты 
можно записать в виде
