§ 2. ПОВЕДЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА СКОРОСТЕЙ В ОКРЕСТНОСТИ БЕСКОНЕЧНО УДАЛЕННОЙ ТОЧКИ

Замечание о сферических функциях. Рассмотрим уравнение Лапласа

Построим решение этого уравнения, имеющее вид однородных полиномов степени . При существует одно линейно-независимое решение . Однородный полином первой степени содержит три линейно-независимых решения. Квадратичный полином общего вида будет удовлетворять уравнению Лапласа, если . Таким образом, при будем иметь пять линейно-независимых решений.

Можно показать, что существует линейно-независимых однородных полиномов степени , удовлетворяющих уравнению Лапласа.

Вводя сферическую систему координат по формулам

можно однородные гармонические полиномы степени записать в виде

Функция называется поверхностной сферической, или просто сферической функцией порядка . Очевидно, что функция есть полином от .

Из сказанного выше следует, что при каждом существует линейно-независимых сферических функций. Сферическая функция общего вида может быть представлена следующим образом:

где — полиномы Лежандра, — присоединенные функции Лежандра.

Полагая поочередно один из коэффициентов равным единице, а остальные — нулями, получим линейно-независимых сферических функций порядка .

При этом легко показать, что наряду с решением уравнения Лапласа является также функция и что всякая гармоническая функция, стремящаяся к нулю на бесконечности, может быть при достаточно больших разложена в ряд вида

Вернемся к задаче о движении твердого тела и рассмотрим поведение при

Пусть — сфера радиуса R с центром в начале координат. Так как жидкость несжимаема и объем тела не изменяется, то поток ее через поверхность должен равняться нулю, т. е.

Потенциал скоростей можно представить в виде (2.1), откуда

Тогда из (2.2) получим

Чтобы (2.4) выполнялось при , необходимо положить . Отсюда следует, что в окрестности бесконечно удаленной точки разложение для имеет вид

т. е. при стремится к нулю как — как .