§ 8. ОБТЕКАНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА

Пусть в плоскости z имеем эллипс с полуосями а и b. Задача об обтекании эллипса поступательным потоком, имеющим скорость , будет решена, если будет известен комплексный потенциал . Для этого надо построить функцию , которая отображает внешность эллипса на внешность круга. Наряду с плоскостью z рассмотрим плоскость (рис. 26).

Рис. 26.

Введем преобразование Жуковского

Подберем постоянную с так, чтобы (8.1) давало преобразование области плоскости вне круга радиуса R в область плоскости вне эллипса. На окружности

Подставляя (8.2) в (8.1) и отделяя вещественную и мнимую части, получаем

Уравнения -параметрические уравнения эллипса с полуосями

Функция (8.1) будет давать отображение окружности на эллипс с заданными полуосями а и b, если положить

Преобразование (8.1) при этом запишется в виде

Получим преобразование, обратное (8.6), т. е. функцию . Согласно (8.6)

Обратное преобразование не однозначно. Выберем такую ветвь корня, чтобы внешность эллипса перешла во внешность круга. Для этого в (8.7) следует взять знак плюс. Действительно, при больших z в этом случае из (8.7) имеем

Таким образом,

Комплексный потенциал обтекания эллиптического цилиндра будет иметь вид