§ 7. ИНТЕГРАЛ ЛАГРАНЖА

Сделаем предположения: 1) жидкость идеальна; 2) имеется баротропность во всем пространстве, занятом жидкостью, т. е. ; 3) массовые силы консервативны; 4) движение безвихревое.

Для безвихревого движения идеальной жидкости уравнение (5.6) принимает вид

(7.1)

Так как жидкость баротропна, то может быть введена функция

Предположение 3) означает, что

Из предположения 4) следует, что

Подставив (7.3), (7.4), (7.5) в (7.1), получим

Из равенства (7.6) следует, что выражение в скобках не зависит от координат, но может зависеть от времени:

Полученное соотношение носит название интеграла Лагранжа. Интеграл Лагранжа можно записать в виде

Предположим, что мы нашли и что функция известна. Тогда из (7.8) можно найти давление р, а затем и .

Функцию входящую в правую часть (7.8), можно считать равной нулю, так как потенциал скоростей определяется с точностью до функции времени. Действительно, если - потенциал скоростей, то любая функция вида также есть потенциал скоростей . Пользуясь этим, можно ввести функцию так, что

Интеграл Лагранжа запишется в виде

Сравним интеграл Лагранжа и интеграл Бернулли. Как мы видели, уравнение Эйлера при соответствующих условиях приводит к этим интегралам. Интеграл Лагранжа в некотором смысле более общий, чем интеграл Бернулли, гак как годится и для неустановившихся движений. Но он менее общий в том смысле, что требует безвихревого движения и полной баротропности (в интеграле Бернулли достаточно баротропности только на линии тока). Область действия этих интегралов разная.