ГЛАВА XV. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА В ЖИДКОСТИ

§ 1. ОБЩИЙ ВИД ПОТЕНЦИАЛА СКОРОСТЕЙ

Пусть в жидкости движется некоторое твердое тело, ограниченное гладкой поверхностью S. Отнесем это движение к некоторой неподвижной системе координат и предположим, что скорость поступательного движения рассматриваемого тела относительно взятой системы отсчета равна (рис. 42). Предположим также, что мгновенная угловая скорость тела относительно выбранного нами в теле полюса О равна . Тогда скорость произвольной точки N, принадлежащей этому телу в его движении относительно системы , будет выражаться формулой

где — радиус-вектор, проведенный из полюса в точку N. Будем далее считать, что жидкость до того момента времени, когда тело начало в ней двигаться, находилась в покое. Движущееся тело будет возмущать окружающую его жидкость, создавая в ней поле скоростей Будем предполагать, что скорости возмущенного движения жидкости убывают при удалении от тела и на бесконечности жидкость покоится. Если жидкость идеальна, баротропна и массовые силы имеют потенциал, то возмущенное движение жидкости будет также потенциальным.

Рис. 42.

В случае несжимаемой жидкости потенциал этого движения будет удовлетворять уравнению Лапласа

Вследствие непроницаемости тела на его поверхности в каждой трчке должно выполняться граничное условие

где — орт нормали.

Для удобства вычислений рационально в дальнейшем воспользоваться подвижной системой координат х, у, z с началом в полюсе О, неизменно связанной с движущимся телом. Если закон движения тела известен, то для каждого заданного момента времени t координаты можно выразить через координаты х, у, z и представить потенциал как функцию х, у, z:

Переход от системы к системе х, у, z совершается с помощью переноса начала и поворота системы координат. Как известно, при указанных преобразованиях координат уравнение Лапласа сохраняет свой вид, так что

Условие на бесконечности также сохраняет свой вид, так как соотношения равносильны (в течение любого промежутка времени тело пройдет лишь конечный путь). Условие на теле значительно упростится, поскольку оно будет записано в системе координат, жестко связанной с телом, и будет иметь вид

где

т.е.

Из формулы (1.5) непосредственно можно заключить, что потенциал должен линейно зависеть от скоростей, изменяющихся во времени, и будет иметь структуру

где функции будут функциями координат х, у, z. Такая форма представления потенциала принадлежит Г. Кирхгофу.

Из изложенного видно, что если заданы форма тела и закон его движения, то определение потенциала возмущенного движения приводит к задаче: найти вне поверхности S гармоническую функцию, стремящуюся к нулю на бесконечности, нормальная производная которой на S принимает согласно (1.2) заданные значения (1.5). Эта задача в теории потенциала носит название внешней задачи Неймана.

Вследствие линейности (1.6) все функции , каждая в отдельности, должны удовлетворять уравнению Лапласа

условиям на поверхности S

и условиям на бесконечности

Определение каждой из этих функций приводит, следовательно, к задаче Неймана.

Из (1.8) видно, что функция соответствует тому случаю движения тела, когда

т. е. тело движется в направлении оси с единичной скоростью. Аналогичное значение имеют функции Функция соответствует случаю, когда

т. е. тело вращается с единичной угловой скоростью вокруг оси х.

Общий вид потенциала (1.6) определяет зависимость от времени для нестационарных задач. Из (1.6) видно, что функция зависит от времени только через посредство поскольку функции зависят лишь от координат точек поверхности тела.