Главная > Лекции по гидроаэромеханике
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

ГЛАВА XV. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА В ЖИДКОСТИ

§ 1. ОБЩИЙ ВИД ПОТЕНЦИАЛА СКОРОСТЕЙ

Пусть в жидкости движется некоторое твердое тело, ограниченное гладкой поверхностью S. Отнесем это движение к некоторой неподвижной системе координат и предположим, что скорость поступательного движения рассматриваемого тела относительно взятой системы отсчета равна (рис. 42). Предположим также, что мгновенная угловая скорость тела относительно выбранного нами в теле полюса О равна . Тогда скорость произвольной точки N, принадлежащей этому телу в его движении относительно системы , будет выражаться формулой

где — радиус-вектор, проведенный из полюса в точку N. Будем далее считать, что жидкость до того момента времени, когда тело начало в ней двигаться, находилась в покое. Движущееся тело будет возмущать окружающую его жидкость, создавая в ней поле скоростей Будем предполагать, что скорости возмущенного движения жидкости убывают при удалении от тела и на бесконечности жидкость покоится. Если жидкость идеальна, баротропна и массовые силы имеют потенциал, то возмущенное движение жидкости будет также потенциальным.

Рис. 42.

В случае несжимаемой жидкости потенциал этого движения будет удовлетворять уравнению Лапласа

Вследствие непроницаемости тела на его поверхности в каждой трчке должно выполняться граничное условие

где — орт нормали.

Для удобства вычислений рационально в дальнейшем воспользоваться подвижной системой координат х, у, z с началом в полюсе О, неизменно связанной с движущимся телом. Если закон движения тела известен, то для каждого заданного момента времени t координаты можно выразить через координаты х, у, z и представить потенциал как функцию х, у, z:

Переход от системы к системе х, у, z совершается с помощью переноса начала и поворота системы координат. Как известно, при указанных преобразованиях координат уравнение Лапласа сохраняет свой вид, так что

Условие на бесконечности также сохраняет свой вид, так как соотношения равносильны (в течение любого промежутка времени тело пройдет лишь конечный путь). Условие на теле значительно упростится, поскольку оно будет записано в системе координат, жестко связанной с телом, и будет иметь вид

где

т.е.

Из формулы (1.5) непосредственно можно заключить, что потенциал должен линейно зависеть от скоростей, изменяющихся во времени, и будет иметь структуру

где функции будут функциями координат х, у, z. Такая форма представления потенциала принадлежит Г. Кирхгофу.

Из изложенного видно, что если заданы форма тела и закон его движения, то определение потенциала возмущенного движения приводит к задаче: найти вне поверхности S гармоническую функцию, стремящуюся к нулю на бесконечности, нормальная производная которой на S принимает согласно (1.2) заданные значения (1.5). Эта задача в теории потенциала носит название внешней задачи Неймана.

Вследствие линейности (1.6) все функции , каждая в отдельности, должны удовлетворять уравнению Лапласа

условиям на поверхности S

и условиям на бесконечности

Определение каждой из этих функций приводит, следовательно, к задаче Неймана.

Из (1.8) видно, что функция соответствует тому случаю движения тела, когда

т. е. тело движется в направлении оси с единичной скоростью. Аналогичное значение имеют функции Функция соответствует случаю, когда

т. е. тело вращается с единичной угловой скоростью вокруг оси х.

Общий вид потенциала (1.6) определяет зависимость от времени для нестационарных задач. Из (1.6) видно, что функция зависит от времени только через посредство поскольку функции зависят лишь от координат точек поверхности тела.

1
Оглавление
email@scask.ru