§ 4. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА В ЖИДКОСТИ

Твердое тело под действием внешних сил движется в идеальной несжимаемой жидкости, покоящейся на бесконечности. Возникающее при этом движение жидкости потенциально. Как было установлено выше, силы давления, действующие со стороны жидкости на тело, приводятся к главному вектору R и главному моменту L:

Обозначим через G главный вектор количества движения, через Н — главный момент количества движения твердого тела. Внешние силы, отличные от сил давления, приводятся к главному вектору F и главному моменту Q (F и Q следует считать заданными).

Применяя закон количества движения и закон моментов количества движения к телу, движущемуся в жидкости, можем написать

Подставляя в эти равенства выражения для R и L, получим

Интегралы

называются присоединенным количеством движения и присоединенным моментом количества движения соответственно. Иногда вектор называют импульсивной силой, а вектор — импульсивной парой.

Уравнения (4.2) удобнее рассматривать в подвижной системе координат, связанной с телом. Действительно, в § 1 был приведен общий вид потенциала (1.6), при этом для потенциалов были выписаны условия (1.8). В системе координат, связанной с телом, направляющие косинусы внешней нормали фиксированы. Каждая из функций фопределяется только геометрией тела. Опираясь на соотношения (1.6) и (1.8), можно указать сравнительно простые формулы для вычисления векторов В и I. Обозначим

Тогда (1.6) перепишется в виде

Если ввести также обозначения

то согласно формулам (4.3), а также (1.8) можем записать

Из (4.4) с учетом (1.8) следуют равенства

Формулы (4.8) и (4.9) можно объединить:

Подставим (4.6) в (4.10). Получим

или

где

Из (4.12) следует, что все т. е. компоненты присоединенного вектора количества движения В и присоединенного вектора момента количества движения I, выражаются через (т. е. компоненты скорости твердого тела и угловой скорости ) и коэффициенты определенные формулами (4.13). Эти коэффициенты, имеющие размерность массы, определяются по существу геометрией тела (в подвижной системе от времени они не зависят). Их называют присоединенными массами. Всего имеется 36 коэффициентов .

В действительности среди этих 36 коэффициентов различных не больше, чем 21, так как имеет место симметрия коэффициентов

Докажем это. Используя вторую формулу Грина, можем записать

В нашем случае — объем жидкости, заключенный между поверхностью тела S и некоторой сферой радиуса .

Левая часть в (4.15) равна нулю, так как все функции являются гармоническими. Функции и на сфере соответственно имеют порядок и поэтому интеграл по поверхности в (4.15) при будет стремиться к нулю как образом, получаем

откуда следуют равенства (4.14).

Когда решены задачи об отыскании вычисление присоединенных масс сводится к вычислению квадратур (4.13).

Запишем выражение для кинетической энергии Т жидкости, окружающей тело. Кинетическая энергия жидкости в объеме будет равна

Так как движение жидкости потенциальное, равенство (4.16) можно переписать в виде

На основании первой формулы Грина будем иметь

Нетрудно убедиться, что при интеграл по стремится к нулю, и, следовательно,

Подставляя в (4.18) формулу (4.6) для потенциала , получим следующее выражение для кинетической энергии жидкости:

или согласно (4.13)

Компоненты определяемые формулами (4.12), теперь можно записать в виде

Если рассматриваемое тело имеет плоскость симметрии, то, принимая эту плоскость за одну из координатных плоскостей, например за плоскость (х,у), можно упростить вычисление функций и Т.

Действительно, в этом случае величины и будут четными функциями, а — нечетной функцией координаты . При этом согласно формулам (1.8) для искомых гармонических функций на поверхности обтекаемого тела будем иметь равенства

где и — симметричные относительно плоскости х, у точки поверхности.

Условиям (4.21) будут удовлетворять гармонические функции четные относительно переменной z, а условиям -функции нечетные относительно z. Действительно, если функция — четная по z, то — нечетная, — четные функции относительно z, и, следовательно, — — четная функция по z. Аналогично рассматривается случай функции, нечетной по z.

Покажем, что в этом случае коэффициенты обращаются в нуль. Используя формулы (4.13) и вводя обозначения и для симметричных относительно плоскости х, у частей поверхности, можем написать

Вследствие нечетности подынтегральной функции и симметрии частей поверхности и будем иметь

Совершенно аналогично получим

В случае, если поверхность S имеет три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии (например, 5 — поверхность эллипсоида), подобным образом можно показать, что все коэффициенты с разными индексами обращаются в нуль.

В качестве примера рассмотрим обтекание сферы радиуса R, движущейся в жидкости со скоростью v под действием некоторой силы F, приложенной в центре шара.

Воспользуемся полученными ранее результатами. Согласно формуле (3.17) гл. XIV потенциал обтекания шара, движущегося с единичной скоростью вдоль оси r, будет

где — сферические координаты с началом в центре шара и полярной осью, направленной по оси z. Из (4.26) следуют равенства

Подставив (4.27) в (4.13), найдем

Точно так же получим

Последние три равенства (1.8), если перейти в них к сферическим координатам и учесть, что при этом (нормаль к поверхности сферы направлена по радиусу), дают

Отсюда непосредственно следуют равенства

Отметим, что равенство нулю производной и равенство нулю функции на бесконечности обеспечивают равенство нулю этой функции во всем пространстве.

Далее, в силу симметрии шара можно утверждать, что все при .

Таким образом, формулы (4.12) примут вид

Согласно обозначениям (4.7) равенства (4.31) эквивалентны двум векторным равенствам

В соответствии с формулами (3.18) и (3.23) получаем

Формулы (4.33) дают главный вектор и главный момент сил, действующих со стороны жидкости на сферу. Из (4.33) непосредственно видно, что в нашем случае силы приводятся к одной равнодействующей, приложенной в центре шара. Равенство нулю главного момента можно было бы предвидеть и с самого начала вследствие симметрии задачи.

Если масса шара равна и на шар действует сила F, приложенная в его центре, то уравнения движения шара (4.2) можно переписать в виде

или

Таким образом, движение шара происходит так, как оно происходило бы в пустоте при том, что масса шара увеличилась на величину , равную половине массы жидкости, вытесненной шаром.