§ 4. РАВНОВЕСИЕ ОДНОРОДНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Система уравнений равновесия содержит уравнения (1.7) — (1.9). Уравнение состояния (1.9) для однородной несжимаемой жидкости имеет вид . Учитывая это, можно уравнение (1.7) записать в виде

т. е. равновесие несжимаемой жидкости возможно только в потенциальном силовом поле. Пусть

Тогда из (4.1) и (4.2) следует, что , т. е.

Постоянная интегрирования С находится из условия Таким образом, давление найдено.

Если массовые силы — силы тяжести, то и потенциал . Из формулы (4.3) в этом случае получаем гидростатический закон:

Для несжимаемой жидкости коэффициент теплопроводности зависит от температуры или постоянен. Если , то уравнение (1.8) для температуры — нелинейное уравнение в частных производных второго порядка. В случае k = const уравнение (1.8) переходит в уравнение Лапласа

Функции, являющиеся решением уравнения Лапласа, называются гармоническими. Следовательно, в рассматриваемом случае Т есть гармоническая функция.

Для решения уравнения Лапласа должны быть заданы граничные условия. Чаще всего встречаются два типа граничных условий и соответственно формулируются две краевые задачи.

1. На поверхности S заданы значения температуры, т. е. - заданная функция точек поверхности (задача Дирихле).

2. На поверхности S задается значение нормальной производной, т. е. (задача Неймана). Известно, что задача об отыскании решения уравнения (4.4), когда на S задана разрешима только при условии, если .

Физический смысл этого условия очевиден. Величина есть поток тепла через площадку , а условие означает, что общее количество тепла, входящее и выходящее через поверхность S, равно нулю. При равновесии это условие выполнено.

Если решать внешнюю задачу Неймана для безграничной области, то условие для потока тепла не ставится — тепло рассеивается.

Итак, в случае однородной несжимаемой жидкости задача об определении температуры решается независимо от задачи об определении давления.