§ 15. ОБТЕКАНИЕ ПРОФИЛЕЙ ЖУКОВСКОГО

А. Профили Жуковского

Было установлено, что конформное преобразование

отображает внешность круга единичного радиуса в плоскости во внешность отрезка вещественной оси плоскости . Перепишем формулу (15.1) в виде

и введем новые переменные и с помощью преобразования подобия

Тогда получим

Преобразование (15.4) переводит внешность круга радиуса с в плоскости во внешность отрезка [-2с, 2с] плоскости z. Перепишем (15.4) следующим образом:

Точки соответствуют точкам . Произвольная окружность в плоскости с центром на мнимой оси, проходящая через точки соответствует некоторой кривой плоскости , проходящей через точки . Если центр окружности L расположен в точке мнимой оси, то ее радиус равен (рис. 31, а). Любая точка А окружности L перейдет в некоторую точку А плоскости , при этом точки и перейдут в точки .

Нетрудно видеть, что

Рис. 31.

Векторы являются изображением некоторых комплексных величин. Представим эти величины в виде

Из формул (15.5), (15.7) непосредственно следует равенство

или

Откуда

Когда точка А движется по верхней части окружности L от В к угол сохраняет постоянное значение как вписанный угол, опирающийся на дугу СВ. При этом угол тоже сохраняет постоянное значение, т. е. линия, которую описывает точка А в плоскости , является дугой некоторой окружности.

Когда точка А движется по нижней части окружности L от С к В, точка А также пробегает некоторую дугу окружности в направлении от С к В.

Покажем, что точки D и Е пересечения окружности L с мнимой осью плоскости отображаются в одну и ту же точку плоскости z. Действительно, точке D соответствует комплексная координата , а точке .

Согласно (15.4) отображением в плоскость z будет являться точка D, у которой

а отображением Е в плоскость z — точка Е, координата которой

Отсюда следует, что каждая из дуг BDC и СЕВ окружности L переходит в одну и ту же дугу BDC плоскости но проходимую в противоположных направлениях (рис. 31,б).

Таким образом, преобразование (15.4) отображает внешность круга L плоскости во внешность дужки BDC плоскости z. Задача об обтекании дуги может быть решена через задачу об обтекании круга.

Рассмотрим теперь проходящую через точку В окружность центр которой G находится на продолжении отрезка BF на расстоянии от точки F. Окружность будет иметь радиус, равный , и будет касаться окружности L в точке В. Так как охватывает окружность L в плоскости то контур на плоскости z, в который переходит окружность будет охватывать дугу BDC, но при этом, подходя к точке В с двух сторон, он будет касаться дуги BDC (по теореме о сохранении углов). Полученный таким образом контур носит название профиля Жуковского. При заданном расстоянии в плоскости z профили, получаемые применением преобразования Жуковского к окружностям характеризуются двумя параметрами. Параметр k, равный расстоянию по мнимой оси до центра основной окружности L, в плоскости z характеризует изгиб или кривизну профиля (его скелетной дужки). Параметр , равный сдвигу FG по радиусу центра новой охватывающей окружности относительно центра основной окружности L, характеризует толщину профиля (его телесность). Таким образом, профили Жуковского образуют двупараметрическое семейство, зависящее от параметров .

Если через центр G новой окружности провести координатные оси параллельные осям и то точки комплексной плоскости будут связаны с точками плоскости преобразованием

(15.10)

где g — комплексное число плоскости соответствующее вектору . Так как , то

(15.11)

Здесь через обозначен угол . Подставляя (15.10) в (15.4), получим

где g определено формулой (15.11).

Б. Графическое построение профилей Жуковского

Рассмотрим один из приемов построения профилей Жуковского, указанный Треффтцем.

Рис. 32.

Профиль Жуковского в плоскости z получался применением преобразования (15.4) к окружности h в плоскости Пусть в плоскости мы имеем окружность с центром в точке радиуса (рис. 32). Проведем преобразование инверсии

(15.13)

В результате преобразования окружность перейдет в окружность (в теории функций комплексной переменной доказывается, что дробно-линейное преобразование, частным случаем которого является (15,13), переводит окружность в окружность). Точка переходит в точку , т. е. окружность также проходит через точку .

В силу конформности преобразования окружность будет пересекать вещественную ось под тем же углом, что и т. е. и будут касаться друг друга в точке В, Отсюда следует, что центр окружности лежит на прямой .

Покажем, что луч является отражением луча относительно мнимой оси, Проведем перпендикуляры к вещественной оси и докажем, что . Из рис. 32 видно, что

и

(15.15)

Так как треугольники подобны треугольнику , то

Отсюда

Аналогично

(15.18)

При преобразовании инверсии вещественная ось переходит сама в себя, при этом точки пересечения окружностей и являются соответственными, т. е. Таким образом,

Отсюда следуют симметричность расположения лучей относительно мнимой оси и способ графического построения окружности .

Каждой точке окружности будет соответствовать точка окружности .

Если провести из начала координат под некоторым углом вектор до пересечения с окружностью а затем — под углом вектор до пересечения с окружностью и прибавить второй вектор к первому, то получим некоторую точку Р профиля Жуковского (рис. 32, б) . По ряду точек мы легко сможем вычертить весь профиль.

В. Решение задачи об обтекании профилей Жуковского

Комплексный потенциал обтекания круглого цилиндра радиуса R в плоскости имеет вид

(15.20)

Чтобы из (15.20) получить комплексный потенциал обтекания профиля Жуковского, мы должны: 1) выразить через найти определить циркуляцию Г при помощи постулата Чаплыгина — Жуковского (профили Жуковского имеют одну острую кромку). Согласно (15.12)

откуда с учетом (15.11)

(15.21)

Из формулы (15.12) следует, что . Для циркуляры , исходя из постулата Чаплыгина — Жуковского, была получена формула (9.9). В нашем случае аргумент в плоскости точки В, в которую переходит острая кромка профиля, равен . С учетом выражения для R из (9.9) получим

(15.22)

Подставляя (15.21), (15.22) в (15.20), получим окончательный вид комплексного потенциала обтекания профиля Жуковского

(15.23)

Те профили, у которых угол между верхней и нижней касательными в задней острой кромке мал, не являются прочными (у профиля Жуковского соответствующий угол вообще равен нулю). Поэтому вместо них рассматривают так называемые обобщенные профили Жуковского. Для их построения используют преобразование Кармана — Треффтца

Если в результате преобразования (15.24) окружность плоскости перейдет в профиль плоскости , у которого угол между касательными в задней кромке равен (см. рис. 27). Если то получим преобразование Жуковского.

Наряду с преобразованиями (15.24) для построения оолее сложных профилей используются преобразования вида

(преобразования Мизеса).