§ 4. ДВА ПРИМЕРА НА ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛА БЕРНУЛЛИ

1. Истечение несжимаемой жидкости через малое отверстие. Рассмотрим истечение жидкости из сосуда через отверстие. Будем считать, что отверстие расположено вблизи дна (рис. 12). Жидкость предположим несжимаемой и находящейся в поле сил тяжести. Пусть S — площадь открытой поверхности жидкости в сосуде, s — площадь отверстия, Н — уровень жидкости в сосуде.

Предполагаем, что . Когда отверстие открыто, то уровень в сосуде понижается, хотя и медленно. Возникающее течение будет неустановившимся, но медленно изменяющимся во времени ( мало). Это движение можно приближенно рассматривать как последовательную смену установившихся движений. Такая трактовка неустановившихся движений носит название квазистационарной трактовки, или квазистационарного подхода. При таком подходе можем записать интеграл Бернулли, который для несжимаемой жидкости при для любой линии тока имеет вид (2.13).

Рассмотрим линию тока АВ, проходящую через точку А поверхности S и точку В в сечении s. Записав интеграл Бернулли для точек А а В этой линии, будем иметь

Принимая, что давление в точках А и В равно атмосферному , получаем

Рис. 12.

Уравнение неразрывности (постоянство расхода) приводит к соотношению

Из последних двух равенств найдем скорость истечения жидкости из сосуда

Так как , то можно написать

Последняя формула есть известная формула Торричелли. Скорость истечения не отличается от скорости материальной точки, падающей с высоты Н.

Рис. 13.

2. Истечение газа из сосуда через малое отверстие. Рассматриваем газ, подчиняющийся уравнению Клапейрона, для которого справедлива адиабата Пуассона. Пусть газ вытекает в атмосферу через малое отверстие (рис. 13). В силу этого параметры газа внутри сосуда меняются мало, и можно пользоваться квазистационарным подходом. Пусть АВ — линия тока, соединяющая точку А внутри сосуда с точкой В в сечении вытекающей струи.

Для точек А и В можно записать адиабату Пуассона (1.11) и интеграл Бернулли (2.19):

При большом сосуде и малом отверстии и можно принять . Обозначая получаем из интеграла Бернулли (4.1)

Из условия адиабатичности следует

Подставляя (4.3) в (4.2), найдем скорость истечения

Формулы (4.3) и (4.4) дают решение задачи.

Рассмотрим полученное решение. Чтобы оно имело смысл, нужно, чтобы . Введем величину — расход на единицу площади. Используя (4.3) и (4.4), получаем

Формула (4.5) позволяет исследовать зависимость q от или, если постоянно, от р — давления среды, в которую вытекает газ. При имеем равновесие, газ течь не будет. При уменьшении р, т. е. расход увеличивается и при некотором достигает максимума. При дальнейшем уменьшении величина q уменьшается, обращаясь в нуль при (рис. 14). Эксперименты подтверждают справедливость зависимости лишь для . При в действительности расход остается постоянным, равным максимальному.

Рис. 14.

Максимальное значение расхода достигается, когда скорость истечения оказывается равной скорости звука. Дальнейшее понижение давления р уже не оказывает влияния на истечение из отверстия — возмущения из внешней среды не проникают внутрь (скорость распространения возмущений — скорость звука — будет меньше скорости газа в струе).

При когда струя становится сверхзвуковой, предположение об одномерности течения оказывается неверным, надо учитывать пространственный характер течения.