ГЛАВА XIII. ТЕОРИЯ ТОНКОГО КРЫЛА

В этой главе рассматривается задача об обтекании тонкого крылового профиля потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости. Предположение о тонкости профиля позволяет сделать ряд существенных упрощений в общей постановке задачи.

§ 1. ПОНЯТИЕ ТОНКОГО КРЫЛА И УСЛОВИЯ ОБТЕКАНИЯ ДЛЯ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ

Крыло будем называть тонким, если, во-первых, мало отношение толщины крыла к длине его хорды 2а и, во-вторых, мал угол между направлением касательной в любой точке профиля и хордой. Кроме того, будем считать, что угол между направлением скорости и направлением хорды (угол атаки) мал.

Выберем систему координат х, у так, чтобы скорость V на бесконечности была параллельна оси х, и поместим начало координат в середину хорды профиля. Пусть

— уравнения верхней и нижней поверхностей крыла. Для тонкого профиля должны быть выполнены следующие неравенства:

Заметим, что обычные профили, с которыми приходится иметь дело при дозвуковых скоростях полета, имеют закругленную переднюю кромку и не являются тонкими в смысле данного определения. Поэтому следует иметь в виду, что решение, построенное с учетом упрощений (1.2), не будет годиться в окрестности носика. Кроме того, исключаются из рассмотрения задачи об обтекании профилей под большими углами атаки.

Кроме системы координат введем скрепленную с профилем систему координат направив ось х по хорде профиля (-а, а). Угол между направлением скорости V оси Ох и хордой оси Ох есть угол атаки а (рис. 34).

Пусть

- уравнения профиля в этой системе координат.

Учитывая связь между

и малость угла а, имеем

Уравнения профиля (1.3) в системе координат х, у с учетом (1.4) примут вид

или

Перейдем теперь к рассмотрению обшей постановки задачи обтекания и тех упрощений, которые могут быть сделаны в ней в случае тонкого профиля. Как было установлено ранее, задача об обтекании профиля будет решена, если найдена функция w(z), удовлетворяющая условиям на бесконечности, условиям обтекания профиля (сформулированным для функции или ) и постулату Чаплыгина — Жуковского.

Представим комплексный потенциал в виде

Рис. 34.

где — комплексный потенциал поступательного потока, имеющего скорость — комплексный потенциал возмущений.

Очевидно, что на бесконечности

Учитывая определение комплексного потенциала

и (1.6), можем написать

Здесь — потенциал скорости и функция тока возмущенного потока. Чтобы решить задачу об обтекании тонкого профиля, достаточно найти . Получим условие, которому должна удовлетворять функция . Поскольку контур крыла S должен являться линией тока, то, не ограничивая общности, можно положить

Подставляя (1.5) и (1.8) в (1.9), получаем для верхней и нижней частей профиля

Учитывая, что тонкое крыло вносят в поток малые возмущения, разложим функции в ряд Тейлора по степеням в окрестности :

Подставляя (1.11) в (1.10) и ограничиваясь членами первого порядка малости, получаем условие обтекания для функции тока в виде

Таким образом, задача об отыскании вне профиля по заданным значениям на его контуре для случая тонкого профиля может быть сведена к задаче об отыскании вне разреза (-а, а) по заданным значениям (1.12) для функции на разрезе. При этом должны быть удовлетворены условия на бесконечности (1.7) и постулат Чаплыгина — Жуковского.

Получим теперь условия обтекания, выраженные через компоненты скорости. Представим в виде

где — скорости возмущений. Учитывая, что на контуре можем записать

Разлагая функции в ряд Тейлора по степеням в окрестности и ограничиваясь в (1.14) малыми первого порядка малости, получаем условия обтекания в виде

Таким образом, условие обтекания тонкого профиля может быть записано через скорости на верхней и нижней сторонах разреза .