§ 3. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ЗАПИСЬ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ

Изменение полной энергии некоторой массы жидкости за промежуток времени от до происходит за счет работы массовых и поверхностных сил, за счет притока за тот же промежуток времени тепловой энергии вследствие наличия объемно-распределенных источников тепла, а также притока тепла через поверхность. Если обозначить через работу массовых сил, — работу поверхностных сил, — объемное поступление энергии, — количество тепла, поступившее через поверхность за время от до то закон сохранения энергии запишется в виде

Здесь — значение полной энергии в момент времени t. В соответствии с определением полной энергии имеем

Вычислим слагаемые, входящие в правую часть (3.1).

Работа массовых сил. Обозначим через работу за промежуток времени массовых сил, приложенных к массе в объеме . На массу в объеме действует сила Перемещение этой массы за время есть . Работа указанной силы на перемещении равна , откуда следует, что

Работа, совершенная массовыми силами за конечный промежуток времени от до будет

Рис. 9.

Работа поверхностных сил. На элемент поверхности с нормалью действует сила (рис. 9). Работа этой силы за время равна и, следовательно, работа сил, приложенных ко всей поверхности S, будет

Работа поверхностных сил за конечный промежуток времени

Объемное поглощение энергии. Иногда приходится учитывать поглощение (или выделение) энергии каждым элементом объема жидкости. Не указывая конкретных причин поглощения или выделения энергии, будем учитывать этот факт следующим образом. Обозначим через количество тепла, поступившего в объем за время Величину , имеющую смысл секундного притока тепла, отнесенного к единице объема, назовем скоростью объемного поглощения энергии.

Энергия, поглощенная за время конечным объемом , будет Энергия, поступившая в объем за время от до будет

Поток тепла через поверхность. Через поверхность S, ограничивающую объем жидкости , тепло извне вследствие теплопроводности может проходить внутрь нашего объема. Количество тепла, проникающее в объем через элемент поверхности с нормалью за время равно . Величина есть так называемая плотность потока энергии, тепловой поток, отнесенный к единице площади и единице времени. Количество тепла, прошедшее за через всю поверхность .

За время от до в объем через поверхность S проникнет количество тепла

Подставляя (3.2) — (3.6) в (3.1), получаем интегральную запись закона сохранения энергии для конечного промежутка времени:

Разделим обе части равенства на разность и, устремив к нулю, получим еще одну запись закона сохранения энергии

Таким образом, скорость изменения полной энергии некоторой массы жидкости равна сумме мощности, развиваемой объемными и поверхностными силами, скорости объемного поступления энергии и потока энергии через поверхность.